二階導函式存在，則二階導函式連續，推出其原函式一階導函式可導（使用導數定義，積分上限函式變換規則和積分中值定理可證得）推出一階導函式連續。同理可得f（x）可導且連續。

函式，最早由中國清朝數學家李善蘭翻譯，出於其著作《代數學》。之所以這麼翻譯，他給出的原因是“凡此變數中函彼變數者，則此為彼之函式”，也即函式指一個量隨著另一個量的變化而變化，或者說一個量中包含另一個量。



函式的由來

中文數學書上使用的“函式”一詞是轉譯詞。是中國清代數學家李善蘭在翻譯《代數學》（1859年）一書時，把“function”譯成“函式”的。

中國古代“函”字與“含”字通用，都有著“包含”的意思。李善蘭給出的定義是：“凡式中含天，為天之函式。”中國古代用天、地、人、物4個字來表示4個不同的未知數或變數。這個定義的含義是：“凡是公式中含有變數x，則該式子叫做x的函式。”

所以“函式”是指公式裡含有變數的意思。我們所說的方程的確切定義是指含有未知數的等式。但是方程一詞在中國早期的數學專著《九章算術》中，意思指的是包含多個未知量的聯立一次方程，即所說的線性方程組。

u=abcxyz；u/x=abcyz；u/y=abcxz；u/z=abcxy。二階混合偏導數意義：對於一個多項式函式來說，指的就是xy項的係數；對於一般的光滑函式來說，指的是其二階逼近中xy項的係數。

內容簡介

一定程度上（在二階逼近意義上）指的.是這個函式可以表示成：f(x,y)=g(x)+h(y)這種形式的障礙。

偏導數連續則可微,可微則函式連續,可微則偏導數存在,函式連續則極限存在,其它的都推不出來.

二階連續偏導數推出二階混合偏導數相等。

實際上如果對x, y的偏導在某點P的鄰域存在，在P處可微，也可以推導處二階混合偏導可交換的性質。

首先偏導數是針對二元或二元以上的函式，導數是針對一元函式；

二階偏導數連續，就是說二階偏導數存在，並且二階偏導數是連續函式；

二階導數連續就是說二階導數存在，並且這個二階導函式是連續函式；



x方向的偏導

設有二元函式 z=f(x,y) ，點(x0,y0)是其定義域D 內一點。把 y 固定在 y0而讓 x 在 x0 有增量 △x ，相應地函式 z=f(x,y) 有增量（稱為對 x 的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

如果 △z 與 △x 之比當 △x→0 時的極限存在，那麼此極限值稱為函式 z=f(x,y) 在 (x0,y0)處對 x 的偏導數，記作 f'x(x0,y0)或函式 z=f(x,y) 在(x0,y0)處對 x 的偏導數，實際上就是把 y 固定在 y0看成常數後，一元函式z=f(x,y0)在 x0處的導數。