回答如下所示:

解題步驟如下

1/2+sin²x

=1/2+1-cos²x

=3/2+(cos2x+1)/2

=cos2x+2

萬能代換：令y = tan(x/2)，dx = 2dy/(1 + y²),sinx = 2y/(1 + y²)

∫ 1/(2 + sinx) dx

= ∫ [2/(1 + y²)]/[2 + 2y/(1 + y²)] dy

= ∫ 1/(y² + y + 1) dy

= (2/√3)arctan[(2tan(x/2) + 1)/√3] + C

= (2/√3)arctan[(2/√3)tan(x/2) + 1/√3] + C

解釋

根據牛頓-萊布尼茨公式，許多函式的定積分的計算就可以簡便地透過求不定積分來進行。這裡要注意不定積分與定積分之間的關係：定積分是一個數，而不定積分是一個表示式，它們僅僅是數學上有一個計算關係。

一個函式，可以存在不定積分，而不存在定積分，也可以存在定積分，而沒有不定積分。連續函式，一定存在定積分和不定積分；若在有限區間[a,b]上只有有限個間斷點且函式有界，則定積分存在；若有跳躍、可去、無窮間斷點，則原函式一定不存在，即不定積分一定不存在。