(1)單調函式不一定有界.

例如指數函式f(x)=e^x在其定義域區間(-∞,+∞)內是單調遞增的,

但是顯然它無上界,從而無界!

(2)連續函式也不一定有界.

例如同樣考慮指數函式f(x)=e^x,(-∞,+∞),它是一個基本初等函式,

所以一定連續,但是顯然它無界!

有界當然不一定收斂，單調有界序列收斂在實數列時是成立的。

收斂函式的x值有界，y值無界限。有界函式的y值有界，x值無界限。收斂函式：是有極限的函式。趨於無窮大（包括無窮小或無窮大），總是逼近某一值，稱為函式的收斂。有界函式：設ƒ（x)是區間E上的函式。若對於任意屬於E的x，存在常數M>0，使得｜ƒ（x)|≤M，則稱ƒ（X)是區間E上的有界函式。



收斂函式：若函式在定義域的每一點都收斂，則通常稱函式是收斂的。函式在某點收斂，是指當自變數趨向這一點時，其函式值的極限就等於函式在該點的值。有界函式：對於定義域中的任意一個值，相應的函式值都在一個區間內變化，那函式就是有界的。

收斂函式一定有界（上下界分別就是函式的最大和最小值）但是有界函式不一定收斂，如f(x)在x=0處f(0)=2，在其他x處f(x)=1，那麼f(x)在x=0處就不是收斂的，那麼f(x)就不是收斂函式，但是f(x)是有界的，因為1≤f(x)≤2。

f(x)=x^2-lnx

定義域:x>0

f(x)"=2x-1/x

2x-1/x>0

2x^2-1>0

x^2>1/2

x>根號2/2 其中x

所以x>根號2/2 為增函式.

當0

補充一下 如果f2x>fx也不能說明fx為增函式 比如f=x，若x屬於Q，f=x/2 若x屬於R\Q