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  • 1 # 無為輕狂

    把複合函式的微分法反過來用於求不定積分,利用中間變數的代換,得到複合函式的積分法,稱為換元積分法,簡稱換元法,換元法通常分為兩類:

    第一類換元法:

    設f(u)具有原函式F(U),即。

    F'(U)=f(u),∫f(u)du=F(U)+C。

    如果u是中間變數,u=φ(x),且設φ(x)可微,那麼,根據複合函式微分法有:

    dF(φ(x))=f(φ(x))φ'(x)dx。

    從而根據不定積分的定義就得:

    ∫f[φ(x)]φ'(x)dx=F[φ(x)]+C=[∫f(u)du] (u=φ(x))。

    於是有下述定理:

    定理1:設f(u)具有原函式,u=φ(x)可導,則有換元公式:

    ∫f[φ(x)]φ'(x)dx=[∫f(u)du] (u=φ(x)) (1)。

    將所求積分∫φ(x)dx表成∫f[φ(x)]φ'(x)dx就是湊微分過程,然後就是換元,也就是將積分變數x換成u;最後是求原函式,實際上就是∫f[φ(x)]φ'(x)dx不好求。

    而∫f(u)du好求,所以先求出後一個不定積分;最後再將變數u換成x。當熟練掌握這一方法後,可以不必引入變數u。

    由此定理可見,雖然∫f[φ(x)]φ'(x)dx是一個整體的記號,但從形式上看,被積表示式中的dx也可當作變數x的微分來對待,從而微分來對待。

    從而微分等式φ'(x)dx=du可以方便地應用到被積表示式中來,我們在上節第一題目中已經這樣用了,那裡把積分∫F'(x)dx,記作∫dF(x),就是按微分F'(x)dx=dF(x),把被積表示式F'(x)dx。記作dF(x)

    設要求∫g(x)dx,如果函式g(x)可以化為g(x)=f[φ(x)]φ'(x)的形式,那麼:

    ∫g(x)dx=∫f[φ(x)]φ'(x)dx=[∫f(u)du] (u=φ(x))。

    這樣,函式g(x)的積分即轉化為函式f(u)的積分,如果能求得f(u)的原函式,那麼也就得到了g(x)的原函式。

    第二類換元法:

    上面介紹的第一類換元法是透過變數代換u=φ(x),將積分∫f[φ(x)]φ'(x)dx化為積分∫f(u)du。

    下面將介紹的第二類換元法是,適當地選擇變數代換x=φ(t),將積分∫f(x)dx化為積分,∫f[φ(t)]φ'(t)dt,這是另一種形式的變數代換,換元公式可表達為:

    ∫f(x)dx=∫f[φ(t)]φ'(t)dt。

    這公式的成立是需要一定條件的,首先,等式右邊的不定積分要存在,即∫f[φ(t)]φ'(t)dt有原函式;其次,∫f[φ(t)]φ'(t)dt求出後必須用x=φ(t)的反函式t=φ^(-1)(x)代回去。

    為了保證這反函式存在而且是可導的,我們假定直接函式x=φ(t)在t的某一個區間(這區間和所考慮的x的積分割槽間相對應)上是單調的,可導的,並且φ'(t)=0。

    歸納上述,給出下面的定理:

    定理2 設x=φ(t)是單調的,可導的函式,並且φ'(t)≠0.又設f[φ(t)]φ'(t)具有原函式,則有換元公式。

    ∫f(x)dx={∫f[φ(t)]φ'(t)dt} (t=φ^(-1)(x))(2)。

    其中φ^(-1)(x)是x=φ(t)的反函式。

    注意:與第一類換元積分法相反,第二類換元積分法就是由於積分∫f(x)dx不便計算,而改求∫f[φ(t)]φ'(t)dt。關鍵是:如何選擇變數替換。

    擴充套件資料:

    不定積分的4種積分方法:

    1、湊微分法:把被積分式湊成某個函式的微分的積分方法。要求:熟練掌握基本積分公式。對於複雜式子可以將其分為兩個部分,對複雜部分求導,結果與簡單部分比較。

    2、換元法:包括整體換元,部分換元。還可分三角函式換元,指數換元,對數換元,倒數換元等等。須靈活運用。注意:dx須求導。

    3、分部積分法:利用兩個相乘函式的微分公式,將所要求的積分轉化為另外較為簡單的函式的積分。注意:對u和v要適當選擇。

    4、有理函式積分法:

    有理函式是指由兩個多項式函式的商所表示的函式,由多項式的除法可知,假分式總能化為一個多項式與一個真分式之和

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