正文:

這個是反函式的連續性定理，一般的非數學專業應該不會要求這個定理證明吧！

定理完整描述： 設y=f(x)在a<=x<=b上嚴格增加（減少）且連續，又f(a)=A f(b)=B 則在A<=y<=B上存在著y=f(x)的反函式x=g(y)，g(y)在[A,B]也是嚴格增加（減少）且連續的。

證明：不妨設y=f(x) 在a<=x<=b上是嚴格增加且連續的

1）首先證明對任一點y0∈[A,B] 存在唯一的x0∈[a,b] 使得f(x0)=y0 ，這樣按反函式概念，反函式g(y)在點y0有定義，且g(y0)=x0

若y0就是A或者B 那麼x0就是a或者b

若A<y0<B 則由連續函式中間值定理，在(a,b)中必有一點x0，使f(x0)=y0，並且它是唯一的

事實上，由於f(x)是嚴格增加的，當x>x0時，f(x)>f(x0)；

而當x<x0 時,f(x)<f(x0)，所以在[a,b]中沒有其他點x，使f(x)=y0，因此對每一個y∈[A,B]，在[a,b]記憶體在唯一的x，使f(x)=y，這就是說，在A<=y<=B上 y=f(x)得反函式x=g(y)是存在的

2) 其次證明g(y)在A<=y<=B 上也是嚴格增加的。

事實上，對[A,B]上任意兩點y1,y2，若y1<y2 則必有 g(y1)<g(y2)

否則，若g(y1)>=g(y2) 且記x1=g(y1) x2=g(y2) 則有 y1=f(x1) y2=f(x2)

又因f(x)是嚴格增加的，當x1>=x2時，應有y1>=y2,這與假設矛盾

3）最後證明g(y)在[A,B]上連續

按定義，就是要證明：對任給的ε>0 存在δ>0，當|y-y0|<δ時，有|g(y)-g(y0)|<ε

記g(y0)=x0 g(y)=x 則f(x0)=y0 f(x)=y

於是上述不等式就是：|x-x0|<ε

即 x0-ε<x<x0+ε

由於g(y)嚴格增加的，要這個不等式成立，只要 f(x0-ε)<f(x)<f(x0+ε)即可

也就是隻要 f(x0-ε)-f(x0) <y-y0 < f(x0+ε)-f(x0)

因此可取 δ=min{f(x0)-f(x0-ε) , f(x0+ε)-f(x0) } 即可

得證。

注：若y0是區間端點A或者B，則|y-y0|<δ 應換成 0<=y-A<δ 或者0<=B-y<δ 再進行同樣的討論

同時在上述證明中由於ε可任意小，當y∈(A,B)時有x0∈(a,b)，因而總可取ε為足夠小使x0-ε，及x0+ε都在[a,b]內

從而 f(x0-ε) ， f(x0+ε)是有意義的。