可微函式的極大值要求駐點負定，一元函式情況下，要求駐點：即一階導數在該點為0；要求負定：即二階導數在該點嚴格小於0

(f''(x0)<=0只是半負定，要f''(x)<0才是負定)

多元也是這樣，要求駐點：Jacobi矩陣在該點要為0；要求負定：海塞矩陣在該點必須是負定陣

當場證明給你看好了

設f(x1,...,xn)是n元二階可微函式

根據Taylor定理在x=(x(1),x(2),...,x(n))處展開為

f(x1,...,xn)=f(x(1),...,x(n))+J(x)(x1-x(1),...,xn-x(n))T+(x1-x(1),...,xn-x(n))H(x)(x1-x(1),...,xn-x(n))T

+((x1-x(1),...,xn-x(n))模長的平方的高階無窮小)

駐點要求J(x)=0,

負定要求H(x)是負定的，也就是說對於任意

(x1-x(1),...,xn-x(n))T≠0，上述表示式右邊第二項為0，右邊第三項嚴格小於0，由於第四項是比第三項高階的無窮小，所以在x點充分小的區域性上，右邊為f(x(1),...,x(n))+某個嚴格小於0的項，所以左邊嚴格大於右邊（對於該點附近不同於該點的點來說）,根據定義，該點是極大值點。

所以

駐點負定

是極值點的充分條件

反過來，如果是嚴格的極大值點，也能得到駐點負定，所以駐點負定是嚴格的極大值點的充分必要條件

但是貌似那種不嚴格的極大值點不滿足這點，半負定本身就是負定的必要條件

所以你這種說法也算是正確

f''(x)<0的必要條件是f''(x)<=0，所以不管怎麼說，你把必要條件擴大到f''(x)<=0不會錯的

但是作為充分條件就不夠了

“f'(x0)=0(就是一元的J(x0)=0)且f''(x0)<0(就是一元的H(x0)負定)”是嚴格極大值的充分必要條件

但是不嚴格的情況（其實也只有平點的情況，根本就是在該點附近是一個常函式，這時候顯然即是極大值又是極小值，但是不滿足海塞矩陣負定，因為這時候不管幾階導數都是0，一般我們討論問題時候會排除這種過於簡單的特例）

極小值完全同理，就是駐點J=0，正定（海塞矩陣H正定）

一個函式能夠取到極值的充要條件是: ①存在使導數等於0的點, 即在該點處 f' = 0。②使導數等於0的那個x值,左右兩邊導數符號相反。若 f'左 > 0，f'右< 0，則為極大值。若 f'左< 0，f'右 > 0，則為極小值，極值是一個函式的極大值或極小值。如果一個函式在一點的一個鄰域內處處都有確定的值，而以該點處的值為最大（小），這函式在該點處的值就是一個極大（小）值。如果它比鄰域內其他各點處的函式值都大（小），它就是一個嚴格極大（小）。該點就相應地稱為一個極值點或嚴格極值點。

介值定理：若f(x)在[a,b]內連續，最大值為M,最小值為N,則一定存在x€[a.b]使得N<f(x)<M