否。單調、有界與連續沒有必然聯絡。但是，如果初等函式在閉區間上單調，那麼它在閉區間上有界，連續。因為初等函式在定義域的任意區間上是連續的。這是千真萬確的！

單調函式不一定是連續的，例如 函式的取值為 ①當x>0時, f(x)=1; ②當x=0時，f(x)=0; ③當x<0時，f(x)=-1， 這便是一個不連續的單調函式。

單調函式不一定連續。單調函式： 一般的，不強調區間的情況下，所謂的單調函式是指， 對於整個定義域而言，函式具有單調性。而不是針對定義域的子區間而言。舉個例子，反比例函式是一個具有單調性的函式，而不是一個單調函式，因為在反比例函式的定義域上，並不呈現整體的單調性。

單調函式只是單調性函式中特殊的一種。區間具有單調性的函式並不一定是單調函式，而單調函式的子區間上一定具有單調性。具有單調性函式可以根據區間不同而單調性不同。一般地，設函式的定義域為I： 如果對於屬於I內某個區間上的任意兩個自變數的值x1、x2，當x1>x2時都有f(x1)≥f(x2),那麼就說在這個區間上是增函式

教材上只定義了單調“區間”，而沒有定義單調“集合”對於函式y=x（x≠0），完全可以說它在“定義域”上單調遞增——因為它在（-∞，0）及（0，+∞）上都是單調增且左邊的最“大”也“小於”右邊的最“小”。

但是，你不能說函式y=x（x≠0）在區間（-∞，0）∪（0，+∞）上是增函式——因為本來就不是個區間！而有些函式如：y=1/x，它在（-∞，0）及（0，+∞）上都是單調減函式，但不能說它在（-∞，0）∪（0，+∞）是減函式。

不一定連續，只要是一直增或一直減都行。就比如y=-x（X<=0）,Y=-x-1(x>0)這樣的函式在R上也是單調減的。但是注意比如y=1/x這個函式不是在R上單調的，只能說他們分別在其兩個定義域上單調。

比如arctanx是單增有界函式

我們將x>0的部分變成(arctanx)+1

並保持其餘部分不動

則這個函式仍是單增有界函式

但此時不連續