首先函式在一點處的導數和在該點處導函式的極限是兩個不同的概念，前者是直接用導數定義求得，後者是利用求導公式求出導函式的表示式後再求該點處的極限，兩者完全可以不相等。 例如f(x)=x^2*sin(1/x)在x=0處的導數等於0，但其導函式在x=0處的極限不存在。但是在相當普遍的情況下，二者又是相等的，這個事實的本質上就是由導數極限定理所保證的。 導數極限定理是說：如果f(x)在x0的某領域內連續，在x0的去心鄰域內可導，且導函式在x0處的極限存在（等於a），則f(x)在x0處的導數也存在並且等於a。 這個定理的重要之處在於，不事先要求f在x0處可導，而根據導函式的極限存在就能推出在該點可導，也就是說，導函式如果在某點極限存在，那麼在該點導函式一定是連續的，而這正是一般函式所不具備的性質。

f(x)=x-1,f"(x)=1,所以有f"(0)=1。另外，f(x)在實數集R上是處處連續的，因此f(x)在R上任一點處的極限就等於f(x)在該點處的值，也就是limf(x)=f(0)=-1。

你是不是把極限與導數當同一回事了？其實不然。

函式在x點處的導數用以下極限定義：

f"(x0)=lim[(f(x)-f(x0))/(x-x0)]。

因此f"(0)=lim[(x-1)-(0-1)]/(x-0)=x/x=1.