一、 一元二次方程的定義及一般形式：
只含有一個未知數x，未知數的最高次數是2，且係數不為 0，這樣的方程叫一元二次方程。
一元二次方程的一般形式：
(a≠0)，其中a為二次項係數，b為一次項係數，c為常數項。
因此，一元二次方程必須滿足以下3個條件：
① 方程兩邊都是關於未知數的等式
② 只含有一個未知數
③ 未知數的最高次數為2
如：
，
為一元二次方程，而像就不是一元二次方程。
二、 一元二次方程的特殊形式
（1）當b=0，c=0時，有：
=0，∴
=0，∴x=0
（2）當b=0，0≠0時，有：
，∵a≠0，此方程可轉化為：
①當a與c異號時，
，根據平方根的定義可知，
，即當b=0，c≠0，且a與c異號時，一元二次方程有兩個不相等的實數根，這兩個實數根互為相反數。
②當a與c同號時，
，∵負數沒有平方根，∴方程沒有實數根。
（3）當b≠0，c＝0時，有
，此方程左邊可以因式分解，使方程轉化為x（ax+b）=0，即x=0或ax+b=0，所以x1=0，x2=-b/a。由此可見，當b≠0，c＝0時，一元二次方程
有兩個不相等的實數根，且兩實數根中必有一個為0。
三、 一元二次方程解法：
1. 第一步：解一元二次方程時，如果給的不是一元二次方程的一般式，首先要化為一元二次方程的一般式，再確定用什麼方法求解。
2. 解一元二次方程的常用方法：
（1）直接開方法：把一元二次方程化為一般式後，如果方程中缺少一次項，是一個形如ax2+c=0的方程時，可以用此方法求解。
解法步驟：①把常數項移到等號右邊，
；
②方程中每項都除以二次項係數，
③開平方求出未知數的值：
（2）因式分解法：把一元二次方程化為一般式後，如果方程左邊的多項式可以因式分解的話，可以使用此方法求解。
解法步驟：①把方程的左邊因式分解，轉化為兩個因式乘積的形式；
②令每個因式分別等於0，進而求出方程的兩個根；
例：解關於x的方程：
解：把方程左邊因式分解成：（x-m）（x+n）=0
∴x1=m，x2=n
（3）配方法：當一元二次方程化為一般式後，不能用直接開方和因式分解的方法求解時，可以使用此方法。
解法步驟：①若方程的二次項係數不是1，方程中各項同除以二次項係數，使二次項係數為1；
②把常數項移到等號右邊；
③方程兩邊同時加上一次項係數一半的平方；
④方程左邊變成一個完全平方式，右邊合併同類項，變為一個實數；
⑤方程兩邊同時開平方，從而求出方程的兩個根；
例：解方程：
解：方程兩邊同除以3得：
移項，得：
∴
即：
∴ x+2=±√6
（4）公式法：利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程，適用於所有的一元二次方程。
求根公式：，其中a≠0。
解法步驟：①先把一元二次方程化為一般式；’
②找出方程中a、b、c等各項係數和常數值；
③計算出b2-4ac的值；
④把a、b、b2-4ac的值代入公式；
⑤求出方程的兩個根；
解：（1）方程中：a=1，b=-4，c=4
∴x={-（-4）±√0}/2×1=2，∴原方程根為
四、一元二次方程根的判別式
1.把△=b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx+c =0（a≠0）的根的判別式。
利用根的判別式可以判斷根的情況：
（1）當△≥0時方程有兩個實數根：
當△＞0時，方程有兩個不相等的實數根；
當△＝0時，方程有兩個相等的實數根；
（2）當△＜0時，方程無實數根。
例：關於x的一元二次方程
有實數根，求m的取值範圍。
解：當m-1≠0時，即：m≠1時，該方程是關於x的一元二次方程。
∵ △≥0，即
=-28m+44≥0，解得：m≤11/7
∴ m的取值範圍是m≤11/7且m≠1。
五、一元二次方程根與係數的關係：
1.定理：設一元二次方程
（a≠0且
）的兩個根分別為x1和x2，則：x1+x2=-b/a，x1·x2=c/a
特別地：對於一元二次方程
，根與係數的關係為：
x1+x2=-p，x1·x2=q
注：①此定理成立的前提是△≥0，也就是說方程必須有實根時才可以使用。
②此定理又叫韋達定理。
一、 一元二次方程的定義及一般形式：
只含有一個未知數x，未知數的最高次數是2，且係數不為 0，這樣的方程叫一元二次方程。
一元二次方程的一般形式：
(a≠0)，其中a為二次項係數，b為一次項係數，c為常數項。
因此，一元二次方程必須滿足以下3個條件：
① 方程兩邊都是關於未知數的等式
② 只含有一個未知數
③ 未知數的最高次數為2
如：
，
為一元二次方程，而像就不是一元二次方程。
二、 一元二次方程的特殊形式
（1）當b=0，c=0時，有：
=0，∴
=0，∴x=0
（2）當b=0，0≠0時，有：
，∵a≠0，此方程可轉化為：
①當a與c異號時，
，根據平方根的定義可知，
，即當b=0，c≠0，且a與c異號時，一元二次方程有兩個不相等的實數根，這兩個實數根互為相反數。
②當a與c同號時，
，∵負數沒有平方根，∴方程沒有實數根。
（3）當b≠0，c＝0時，有
，此方程左邊可以因式分解，使方程轉化為x（ax+b）=0，即x=0或ax+b=0，所以x1=0，x2=-b/a。由此可見，當b≠0，c＝0時，一元二次方程
有兩個不相等的實數根，且兩實數根中必有一個為0。
三、 一元二次方程解法：
1. 第一步：解一元二次方程時，如果給的不是一元二次方程的一般式，首先要化為一元二次方程的一般式，再確定用什麼方法求解。
2. 解一元二次方程的常用方法：
（1）直接開方法：把一元二次方程化為一般式後，如果方程中缺少一次項，是一個形如ax2+c=0的方程時，可以用此方法求解。
解法步驟：①把常數項移到等號右邊，
；
②方程中每項都除以二次項係數，
；
③開平方求出未知數的值：
（2）因式分解法：把一元二次方程化為一般式後，如果方程左邊的多項式可以因式分解的話，可以使用此方法求解。
解法步驟：①把方程的左邊因式分解，轉化為兩個因式乘積的形式；
②令每個因式分別等於0，進而求出方程的兩個根；
例：解關於x的方程：
解：把方程左邊因式分解成：（x-m）（x+n）=0
∴x1=m，x2=n
（3）配方法：當一元二次方程化為一般式後，不能用直接開方和因式分解的方法求解時，可以使用此方法。
解法步驟：①若方程的二次項係數不是1，方程中各項同除以二次項係數，使二次項係數為1；
②把常數項移到等號右邊；
③方程兩邊同時加上一次項係數一半的平方；
④方程左邊變成一個完全平方式，右邊合併同類項，變為一個實數；
⑤方程兩邊同時開平方，從而求出方程的兩個根；
例：解方程：
解：方程兩邊同除以3得：
移項，得：
∴
即：
∴ x+2=±√6
∴
（4）公式法：利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程，適用於所有的一元二次方程。
求根公式：，其中a≠0。
解法步驟：①先把一元二次方程化為一般式；’
②找出方程中a、b、c等各項係數和常數值；
③計算出b2-4ac的值；
④把a、b、b2-4ac的值代入公式；
⑤求出方程的兩個根；
例：解方程：
解：（1）方程中：a=1，b=-4，c=4
∴x={-（-4）±√0}/2×1=2，∴原方程根為
四、一元二次方程根的判別式
1.把△=b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx+c =0（a≠0）的根的判別式。
利用根的判別式可以判斷根的情況：
（1）當△≥0時方程有兩個實數根：
當△＞0時，方程有兩個不相等的實數根；
當△＝0時，方程有兩個相等的實數根；
（2）當△＜0時，方程無實數根。
例：關於x的一元二次方程
有實數根，求m的取值範圍。
解：當m-1≠0時，即：m≠1時，該方程是關於x的一元二次方程。
∵ △≥0，即
=-28m+44≥0，解得：m≤11/7
∴ m的取值範圍是m≤11/7且m≠1。
五、一元二次方程根與係數的關係：
1.定理：設一元二次方程
（a≠0且
）的兩個根分別為x1和x2，則：x1+x2=-b/a，x1·x2=c/a
特別地：對於一元二次方程
，根與係數的關係為：
x1+x2=-p，x1·x2=q
注：①此定理成立的前提是△≥0，也就是說方程必須有實根時才可以使用。
②此定理又叫韋達定理。