舉一個簡單的例子：

y""+3y"+2y = 1 (1)

其對應的齊次方程的特徵方程為：

s^2+3s+2=0 (2)

因式分 (s+1)(s+2)=0 (3)

兩個根為： s1=-1 s2=-2 (4)

齊次方程的通

y1=ae^(-x)+be^(-2x) (5)

非奇方程(1)的特

y* = 1/2 (6)

於是（1）的通解為：

y=y1+y* = 1/2 + ae^(-x) +be^(-2x) (7)

其中：a、b由初始條件確定.

一、微分的本質

我直接先下個結論：微分本質是一個微小的線性變化量，是用一個線性函式作為原函式變化的逼近（或者叫近似）。

微分的定義是從導數而來的，我們簡單回顧一下。

由導數的定義有limΔx→0ΔyΔx=f′(x)limΔx→0⁡ΔyΔx=f′(x)，那麼則有ΔyΔx−f′(x)=alimΔx→0a=0ΔyΔx−f′(x)=alimΔx→0⁡a=0。

則可以得到如下結果：

Δy=f′(x)Δx+aΔxΔy=f′(x)Δx+aΔx

當ΔxΔx趨近於0，顯然有Δy≈f′(x)ΔxΔy≈f′(x)Δx。

現在我們將f′(x)Δxf′(x)Δx定義為dy。而ΔyΔy表示的是函式值的變化，顯然dy的真正含義是對這種變化的逼近。也就是說我們定義微分，就是想借助微分這個工具來研究函式的變化趨勢。

從上面你可以明白兩件事，第一微分，即dy不是一個符號哦，是真的有具體值的，它的值為f′(x)Δxf′(x)Δx，第二觀察下f′(x)Δxf′(x)Δx，顯然是一個關於ΔxΔx的線性函式，因此微分其實在一點處，用一個線性函式的變化來逼近函式的變化，你懂的，線性的東西，其規律好掌握嘛。好了，這下你明白微分到底是什麼含義了吧。

一元函式微分學的幾何應用:三點(極值點、最值點和拐點)兩性(單調性和凹凸性)、一線(漸近線)