設f（x）=tanx-x，求導f’（x）=1+tan²x-1=tan²x>=0恆成立，說明f（x）是增函式，所以tanx大。

正弦函式 sinθ=y/r

餘弦函式 cosθ=x/r

正切函式 tanθ=y/x

餘切函式 cotθ=x/y

正割函式 secθ=r/x

餘割函式 cscθ=r/y

tanA·tanB·tan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

高等代數中三角函式的指數表示(由泰勒級數易得)：

sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)

cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2

tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]

tanA·tanB=1

tanx>x

tan0=0,x=0

tanx的引數為1/（cosx^2),x的引數為1.前者大於後者。故tanx>x

當x∈(0，兀/2)時，x<tanx。

x接近0的時候cosx=1。所以tanx和x的無窮小關係相當於sinx和x的無窮小關係。根據sinx泰勒級數展開，sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-...(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+...第二項以後的x次數都至少是x的3次方，而x^3當x->0時是相對於x的無窮小量，所以從第二項以後的項都是相對於x的無窮小量。所以sinx約為x，即sinx是x的等價無窮小，所以tanx是x的等價無窮小

可以當作是函式y=x和y=tanx兩個函式的比較，在實數域裡畫出兩個函式的影象，且知道y=tanx在R上是週期函式，且為kπ，故只需討論一個週期裡（包含原點的週期），在x=0； x=π/4；x=-π/4時。兩函式影象相交，表示相等，x<-π/4或0<x<π/4時，y=x在y=tanx上方，表示y=x大於y=tanx，即x>tanx；x>-π/4或π/4< x< π/2時，y=x在y=tanx下方，表示y=x小於y=tanx，即x<tanx，然後擴充套件到整個R域，只用加上週期kπ就對了，k為整數

tanx與x的大小關係是： 當tanx>0(即kπ≤x<π/2十kπ時)tanⅹ≥x，當tanx﹤0，(即π/2十kπ≥<x<π十kπ)時tanx<x。證明如下：設y=tanx-ⅹ，y的導數是sec^2x一|，∵sec^2x≥1，∴y的導數≥0，故y值≥f(O)=0，即tanx≥ⅹ；當tanx<0時，tan(-x)>0，∴tan(一x)>-x，一tanx>-x，即tanx﹤x。

x趨近於無窮,tanx不存在極限當X=nπ時極限為0,當X=(n+1/4)π時極限為1

tan是三角正切函式。

什麼時候x等於tanx？x取cosx=1值時等於tanx，tanx=sinx/cosx,x接近0的時候cosx=1.所以tanx和x的無窮小關係相當於sinx和x的無窮小關係.根據sinx泰勒級數展開,sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-...(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+...第二項以後的x次數都至少是x的3次方,而x^3當x->0時是相對於x的無窮小量,所以從第二項以後的項都是相對於x的無窮小量.所以sinx約為x,即sinx是x的等價無窮小,所以tanx是x的等價無窮小