等值線。
這個方法如果熟練了，可以秒殺一類題。我自己個人總結的。
有些填空/選擇題中會讓人求某個幾何量的範圍，一般來說這類題會給個圖，上面線段長度是給定的，某個點在某個線上動，求XXX的範圍/最大值/最小值。
我這裡先給個定義：等值線就是某個幾何量是常數的一條曲線。最常見的莫過於橢圓，雙曲線。它們分別是PF1+PF2和PF1-PF2為常數的曲線。
例如，給定兩個固定點F1，F2，一條不過它們的直線（在這兩點的同一側），一個這直線上的動點P，求PF1+PF2的範圍。
我們有如下解法：作出一系列以F1，F2為焦點的橢圓，取正好與直線相切的那個橢圓，切點就是要找的最小值點，該橢圓的長軸就是要找的最小值。
如果這不是一整條直線，而是一個線段，那麼它的端點必然都是極值點，可能極大可能極小。
這是因為橢圓稍微變化點就不與線段相交。
原理理解起來還是挺簡單的。
事實上，以上面的那個為例，線段上與某個橢圓相交的點必然在PF1+PF2的值域內，點又對應了某個值。
類似線性規劃。
其他類似的也可以列舉出來參考參考。
設兩定點A，B，動點PPA^2+PB^2為定值的等值線（軌跡）是圓。
向量PA*向量PB為定值的等值線（軌跡）也是圓。上面所說的兩個可以建系來證。並且容易看出半徑越大，定值越大，圓心是AB中點。
PA/PB為定值的等值線也是圓。（越靠近某一點，定值越大）使得S三角形PAB為定值的等值線是平行於AB的直線。到兩點斜率乘積為定值的等值線是：
1.圓，乘積為-1 ，2.橢圓，乘積小於0不等於-13.兩條直線，乘積為0，4.雙曲線，乘積大於0使得角APB為定值的等值線是兩段關於AB對稱的弧。
這兩弧均過AB。等等等，還有很多。
我再舉個例子，關於怎麼用這個方法。
比如，題中求角APB的範圍，P在某個圓上，圓在AB外，你作出一系列等值線，也就是圓弧，找出其中的圓弧使得它正好與所給的圓相切（注意有兩個，對應最大和最小），這就給出了切點和APB的值。下面就是計算問題。同時建議大家要把這些等值線一個個畫出來，熟悉一下，知道等值線隨定值的變化趨勢，這樣考場上就算想不起來也可以現推，很容易。
等值線。
這個方法如果熟練了，可以秒殺一類題。我自己個人總結的。
有些填空/選擇題中會讓人求某個幾何量的範圍，一般來說這類題會給個圖，上面線段長度是給定的，某個點在某個線上動，求XXX的範圍/最大值/最小值。
我這裡先給個定義：等值線就是某個幾何量是常數的一條曲線。最常見的莫過於橢圓，雙曲線。它們分別是PF1+PF2和PF1-PF2為常數的曲線。
例如，給定兩個固定點F1，F2，一條不過它們的直線（在這兩點的同一側），一個這直線上的動點P，求PF1+PF2的範圍。
我們有如下解法：作出一系列以F1，F2為焦點的橢圓，取正好與直線相切的那個橢圓，切點就是要找的最小值點，該橢圓的長軸就是要找的最小值。
如果這不是一整條直線，而是一個線段，那麼它的端點必然都是極值點，可能極大可能極小。
這是因為橢圓稍微變化點就不與線段相交。
原理理解起來還是挺簡單的。
事實上，以上面的那個為例，線段上與某個橢圓相交的點必然在PF1+PF2的值域內，點又對應了某個值。
類似線性規劃。
其他類似的也可以列舉出來參考參考。
設兩定點A，B，動點PPA^2+PB^2為定值的等值線（軌跡）是圓。
向量PA*向量PB為定值的等值線（軌跡）也是圓。上面所說的兩個可以建系來證。並且容易看出半徑越大，定值越大，圓心是AB中點。
PA/PB為定值的等值線也是圓。（越靠近某一點，定值越大）使得S三角形PAB為定值的等值線是平行於AB的直線。到兩點斜率乘積為定值的等值線是：
1.圓，乘積為-1 ，2.橢圓，乘積小於0不等於-13.兩條直線，乘積為0，4.雙曲線，乘積大於0使得角APB為定值的等值線是兩段關於AB對稱的弧。
這兩弧均過AB。等等等，還有很多。
我再舉個例子，關於怎麼用這個方法。
比如，題中求角APB的範圍，P在某個圓上，圓在AB外，你作出一系列等值線，也就是圓弧，找出其中的圓弧使得它正好與所給的圓相切（注意有兩個，對應最大和最小），這就給出了切點和APB的值。下面就是計算問題。同時建議大家要把這些等值線一個個畫出來，熟悉一下，知道等值線隨定值的變化趨勢，這樣考場上就算想不起來也可以現推，很容易。