自然數用以計量事物的件數或表示事物次序的數。即用數碼0，1，2，3，4，……所表示的數。表示物體個數的數叫自然數，自然數由0開始，一個接一個，組成一個無窮的集體。自然數有有序性，無限性。分為偶數和奇數，合數和質數等。
1、對自然數可以定義加法和乘法。其中，加法運算“+”定義為：
a + 0 = a；
a + S（x） = S（a +x）， 其中，S（x）表示x的後繼者。
如果我們將S（0）定義為符號“1”，那麼b + 1 = b + S（0） = S（ b + 0 ） = S（b），即，“+1”運算可求得任意自然數的後繼者。
同理，乘法運算“×”定義為：
a × 0 = 0;
a × S（b） = a × b + a
自然數的減法和除法可以由類似加法和乘法的逆的方式定義。
2、有序性。自然數的有序性是指，自然數可以從0開始，不重複也不遺漏地排成一個數列：0，1，2，3，…這個數列叫自然數列。一個集合的元素如果能與自然數列或者自然數列的一部分建立一一對應，我們就說這個集合是可數的，否則就說它是不可數的。
3、無限性。自然數集是一個無窮集合，自然數列可以無止境地寫下去。
對於無限集合來說“，元素個數”的概念已經不適用，用數個數的方法比較集合元素的多少隻適用於有限集合。為了比較兩個無限集合的元素的多少，集合論的創立者德國數學家康托爾引入了一一對應的方法。
這一方法對於有限集合顯然是適用的，21世紀把它推廣到無限集合，即如果兩個無限集合的元素之間能建立一個一一對應，我們就認為這兩個集合的元素是同樣多的。
對於無限集合，我們不再說它們的元素個數相同，而說這兩個集合的基數相同，或者說，這兩個集合等勢。與有限集對比，無限集有一些特殊的性質，其一是它可以與自己的真子集建立一一對應，例如：
0 1 2 3 4 …
1 3 5 7 9 …
這就是說，這兩個集合有同樣多的元素，或者說，它們是等勢的。大數學家希爾伯特曾用一個有趣的例子來說明自然數的無限性：如果一個旅館只有有限個房間，當它的房間都住滿了時，再來一個旅客，經理就無法讓他入住了。
但如果這個旅館有無數個房間，也都住滿了，經理卻仍可以安排這位旅客：他把1號房間的旅客換到2號房間，把2號房間的旅客換到3號房間，……如此繼續下去，就把1號房間騰出來了。
4、傳遞性：設 n1，n2，n3 都是自然數，若 n1>n2，n2>n3，那麼 n1>n3。
5、三岐性：對於任意兩個自然數n1，n2，有且只有下列三種關係之一：n1>n2，n1=n2或n1<n2。
6、最小數原理：自然數集合的任一非空子集中必有最小的數。具備性質3、4的數集稱為線性序集。容易看出，有理數集、實數集都是線性序集。
但是這兩個數集都不具備性質5，例如所有形如nm（m>n，m，n 都是自然數）的陣列成的集合是有理數集的非空子集，這個集合就沒有最小數；開區間（0，1）是實數集合的非空子集，它也沒有最小數。
具備性質5的集合稱為良序集，自然數集合就是一種良序集。容易看出，加入0之後的自然數集仍然具備上述性質3、4、5，就是說，仍然是線性序集和良序集。
擴充套件資料：
1、自然數列在“數列”，有著最廣泛的運用，因為所有的數列中，各項的序號都組成自然數列。
任何數列的通項公式都可以看作：數列各項的數與它的序號之間固定的數量關係。
2、求n條射線可以組成多少個角時，應用了自然數列的前n項和公式
第1條射線和其它射線組成（n-1）個角，第2條射線跟餘下的其它射線組成（n-2）個角，依此類推得到式子
1+2+3+4+……+n-1=n（n-1）/2
3、求直線上有n個點，組成多少條線段時，也應用了自然數列的前n項和公式
第1個點和其它點組成（n-1）條線段，第2個點跟餘下的其它點組成（n-2）條線段，依此類推同樣可以得到式子
自然數用以計量事物的件數或表示事物次序的數。即用數碼0，1，2，3，4，……所表示的數。表示物體個數的數叫自然數，自然數由0開始，一個接一個，組成一個無窮的集體。自然數有有序性，無限性。分為偶數和奇數，合數和質數等。
1、對自然數可以定義加法和乘法。其中，加法運算“+”定義為：
a + 0 = a；
a + S（x） = S（a +x）， 其中，S（x）表示x的後繼者。
如果我們將S（0）定義為符號“1”，那麼b + 1 = b + S（0） = S（ b + 0 ） = S（b），即，“+1”運算可求得任意自然數的後繼者。
同理，乘法運算“×”定義為：
a × 0 = 0;
a × S（b） = a × b + a
自然數的減法和除法可以由類似加法和乘法的逆的方式定義。
2、有序性。自然數的有序性是指，自然數可以從0開始，不重複也不遺漏地排成一個數列：0，1，2，3，…這個數列叫自然數列。一個集合的元素如果能與自然數列或者自然數列的一部分建立一一對應，我們就說這個集合是可數的，否則就說它是不可數的。
3、無限性。自然數集是一個無窮集合，自然數列可以無止境地寫下去。
對於無限集合來說“，元素個數”的概念已經不適用，用數個數的方法比較集合元素的多少隻適用於有限集合。為了比較兩個無限集合的元素的多少，集合論的創立者德國數學家康托爾引入了一一對應的方法。
這一方法對於有限集合顯然是適用的，21世紀把它推廣到無限集合，即如果兩個無限集合的元素之間能建立一個一一對應，我們就認為這兩個集合的元素是同樣多的。
對於無限集合，我們不再說它們的元素個數相同，而說這兩個集合的基數相同，或者說，這兩個集合等勢。與有限集對比，無限集有一些特殊的性質，其一是它可以與自己的真子集建立一一對應，例如：
0 1 2 3 4 …
1 3 5 7 9 …
這就是說，這兩個集合有同樣多的元素，或者說，它們是等勢的。大數學家希爾伯特曾用一個有趣的例子來說明自然數的無限性：如果一個旅館只有有限個房間，當它的房間都住滿了時，再來一個旅客，經理就無法讓他入住了。
但如果這個旅館有無數個房間，也都住滿了，經理卻仍可以安排這位旅客：他把1號房間的旅客換到2號房間，把2號房間的旅客換到3號房間，……如此繼續下去，就把1號房間騰出來了。
4、傳遞性：設 n1，n2，n3 都是自然數，若 n1>n2，n2>n3，那麼 n1>n3。
5、三岐性：對於任意兩個自然數n1，n2，有且只有下列三種關係之一：n1>n2，n1=n2或n1<n2。
6、最小數原理：自然數集合的任一非空子集中必有最小的數。具備性質3、4的數集稱為線性序集。容易看出，有理數集、實數集都是線性序集。
但是這兩個數集都不具備性質5，例如所有形如nm（m>n，m，n 都是自然數）的陣列成的集合是有理數集的非空子集，這個集合就沒有最小數；開區間（0，1）是實數集合的非空子集，它也沒有最小數。
具備性質5的集合稱為良序集，自然數集合就是一種良序集。容易看出，加入0之後的自然數集仍然具備上述性質3、4、5，就是說，仍然是線性序集和良序集。
擴充套件資料：
1、自然數列在“數列”，有著最廣泛的運用，因為所有的數列中，各項的序號都組成自然數列。
任何數列的通項公式都可以看作：數列各項的數與它的序號之間固定的數量關係。
2、求n條射線可以組成多少個角時，應用了自然數列的前n項和公式
第1條射線和其它射線組成（n-1）個角，第2條射線跟餘下的其它射線組成（n-2）個角，依此類推得到式子
1+2+3+4+……+n-1=n（n-1）/2
3、求直線上有n個點，組成多少條線段時，也應用了自然數列的前n項和公式
第1個點和其它點組成（n-1）條線段，第2個點跟餘下的其它點組成（n-2）條線段，依此類推同樣可以得到式子
1+2+3+4+……+n-1=n（n-1）/2