可微函式的極大值要求駐點負定，一元函式情況下，要求駐點：即一階導數在該點為0；要求負定：即二階導數在該點嚴格小於0 (f''(x0)<=0只是半負定，要f''(x)<0才是負定)
多元也是這樣，要求駐點：Jacobi矩陣在該點要為0；要求負定：海塞矩陣在該點必須是負定陣
當場證明給你看好了
設f(x1,...,xn)是n元二階可微函式
根據Taylor定理在x=(x(1),x(2),...,x(n))處展開為
f(x1,...,xn)=f(x(1),...,x(n))+J(x)(x1-x(1),...,xn-x(n))T+(x1-x(1),...,xn-x(n))H(x)(x1-x(1),...,xn-x(n))T +((x1-x(1),...,xn-x(n))模長的平方的高階無窮小)
駐點要求J(x)=0, 負定要求H(x)是負定的，也就是說對於任意 (x1-x(1),...,xn-x(n))T≠0，上述表示式右邊第二項為0，右邊第三項嚴格小於0，由於第四項是比第三項高階的無窮小，所以在x點充分小的區域性上，右邊為f(x(1),...,x(n))+某個嚴格小於0的項，所以左邊嚴格大於右邊（對於該點附近不同於該點的點來說）,根據定義，該點是極大值點。
所以 駐點負定 是極值點的充分條件
反過來，如果是嚴格的極大值點，也能得到駐點負定，所以駐點負定是嚴格的極大值點的充分必要條件
但是貌似那種不嚴格的極大值點不滿足這點，半負定本身就是負定的必要條件
所以你這種說法也算是正確
f''(x)<0的必要條件是f''(x)<=0，所以不管怎麼說，你把必要條件擴大到f''(x)<=0不會錯的
但是作為充分條件就不夠了
“f'(x0)=0(就是一元的J(x0)=0)且f''(x0)<0(就是一元的H(x0)負定)”是嚴格極大值的充分必要條件
但是不嚴格的情況（其實也只有平點的情況，根本就是在該點附近是一個常函式，這時候顯然即是極大值又是極小值，但是不滿足海塞矩陣負定，因為這時候不管幾階導數都是0，一般我們討論問題時候會排除這種過於簡單的特例）
極小值完全同理，就是駐點J=0，正定（海塞矩陣H正定）
可微函式的極大值要求駐點負定，一元函式情況下，要求駐點：即一階導數在該點為0；要求負定：即二階導數在該點嚴格小於0 (f''(x0)<=0只是半負定，要f''(x)<0才是負定)
多元也是這樣，要求駐點：Jacobi矩陣在該點要為0；要求負定：海塞矩陣在該點必須是負定陣
當場證明給你看好了
設f(x1,...,xn)是n元二階可微函式
根據Taylor定理在x=(x(1),x(2),...,x(n))處展開為
f(x1,...,xn)=f(x(1),...,x(n))+J(x)(x1-x(1),...,xn-x(n))T+(x1-x(1),...,xn-x(n))H(x)(x1-x(1),...,xn-x(n))T +((x1-x(1),...,xn-x(n))模長的平方的高階無窮小)
駐點要求J(x)=0, 負定要求H(x)是負定的，也就是說對於任意 (x1-x(1),...,xn-x(n))T≠0，上述表示式右邊第二項為0，右邊第三項嚴格小於0，由於第四項是比第三項高階的無窮小，所以在x點充分小的區域性上，右邊為f(x(1),...,x(n))+某個嚴格小於0的項，所以左邊嚴格大於右邊（對於該點附近不同於該點的點來說）,根據定義，該點是極大值點。
所以 駐點負定 是極值點的充分條件
反過來，如果是嚴格的極大值點，也能得到駐點負定，所以駐點負定是嚴格的極大值點的充分必要條件
但是貌似那種不嚴格的極大值點不滿足這點，半負定本身就是負定的必要條件
所以你這種說法也算是正確
f''(x)<0的必要條件是f''(x)<=0，所以不管怎麼說，你把必要條件擴大到f''(x)<=0不會錯的
但是作為充分條件就不夠了
“f'(x0)=0(就是一元的J(x0)=0)且f''(x0)<0(就是一元的H(x0)負定)”是嚴格極大值的充分必要條件
但是不嚴格的情況（其實也只有平點的情況，根本就是在該點附近是一個常函式，這時候顯然即是極大值又是極小值，但是不滿足海塞矩陣負定，因為這時候不管幾階導數都是0，一般我們討論問題時候會排除這種過於簡單的特例）
極小值完全同理，就是駐點J=0，正定（海塞矩陣H正定）