初等函式在定義域內一定連續,但不一定可導!舉例如下:y=|x|就是y=sqrt(x^2),它是基本初等函式y=sqrt(u)和u=x^2的複合函式,是初等函式.(其中x^2表示x的平方,sqrt(x)表示x的算術平方根)；但y=|x|在x=0點處的左導數為-1,右導數為1,因此該函式在x=0處不可導!另舉反例:y=x^(1/3)(即x的立方根)是基本初等函式,但在x=0處不可導!

當然不一定，例如初等函式f(x)=1/x，這個函式的原函式F(x)=ln|x|+c(c是任意常數)，在x=0點處就不連續。x=0點處沒有定義。

但是這種間斷點是因為沒有定義的間斷點，屬於定義域不連續導致的函式不連續，而在定義域內是連續的。

初等函式本身並不是連續函式，如f(x)=1/x這樣初等函式也是有間斷點x=0的。

但是初等函式的間斷點是因為定義域不連續導致的間斷點。在定義域內部是不會存在間斷點的。

所有基本初等函式在其定義域內都是連續的，定義域與定義區間是不一樣的,如果初等函式的定義域是一些離散的點構成的,函式不可能連續。

關鍵判斷fx的連續性問題就可以了，fx連續且可導，導函式也就連續了。

首先列出已知的函式 f(x)，目標是證明該函式在 x = 0 處連續。

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計算出函式 f(x) 在 x 趨向於 0 時，極限等於 0。

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同時根據 f(0) = 0 ，進行進一步推導。

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接著引用函式連續的定義。

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最後即可判斷出函式 f(x) 在 x=0 處連續。

當 x<0 時，e^ux -> 0，因此 f(x) = -1，

當 x=0 時，f(x) = 0，

當 x>0 時，e^ux -> +∞，上下同除以 e^ux ，得極限 = 1，

可以看出，函式在 x = 0 處左右極限存在且不相等，因此是跳躍間斷點，

其餘點都連續。

如果導函式不連續一定不存在原函式，原函式的存在問題是微積分學的基本理論問題，當f(x)為連續函式時，其原函式一定存在。 如果函式不連續，它的原函式一定不存在。

在微積分中，一個函式f 的不定積分，或原函式，或反導數，是一個導數等於f 的函式 F ，即F ′ = f。

連續函式，一定存在定積分和不定積分；若在有限區間[a,b]上只有有限個間斷點且函式有界，則定積分存在；若有跳躍、可去、無窮間斷點，則原函式一定不存在，即不定積分一定不存在。

擴充套件資料：

求函式f(x)的不定積分，就是要求出f(x)的所有的原函式，由原函式的性質可知，只要求出函式f(x)的一個原函式，再加上任意的常數C就得到函式f(x)的不定積分。

如果f(x)在區間I上有原函式，即有一個函式F(x)使對任意x∈I，都有F'(x)=f(x)，那麼對任何常數顯然也有[F(x)+C]'=f(x)。即對任何常數C，函式F(x)+C也是f(x)的原函式。這說明如果f(x)有一個原函式,那麼f(x)就有無限多個原函式。