一元二次方程ax²+bx+c=0的判別式=b²-4ac這個判別式是根據方程的求根公式得來的，因為ax²+bx+c=0===>a(x+b/2a)²-b²/4a+c=0===>x=[-b±√(b²-4ac)]/2a從求根公式可以看出，b²-4ac的結果決定了方程是否具有實數根，或具有什麼樣的實數根，所以，就稱b²-4ac為一元二次方程的判別式，符號△（1）當△=0時，方程具有一個實數根（或兩個相等實數根）

（2）當△0時，方程具有兩個不相等實數根根據求根公式和判別式，推匯出韋達定理假設一元二次方程具有兩個實數根x1、x2，則這兩個實數根的關係為：x1+x2=[-b+√△]/2a+[-b-√△]/2a=-b/ax1x2=[-b+√△]/2a×[-b-√△]/2a=c/

a當然，上述條件成立（包括判別式）的首要條件是a≠0

一元二次方程根的判別式是由用配方法推導求根公式時得到的。

詳細說明如下

用配方法解一元二次方程

ax^2＋bx＋c＝0（a≠0）

x^2＋（b／a）x＝-c／a）

x^2＋（b／a）x＋（b／2a）^2＝（b／2a）-c／a

（x＋b／2a）^2＝（b^2-4ac）／4a^2

由上可看出，當b^2-4ac≥0時，兩邊能同時開平方，當b^2-4ac＜0，方程無實根。這就是判別式的由來。

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠O)中根的判別式為b2－4ac，用符號Δ表示。當Δ大於0時，有兩個不同的實根；當Δ等於0時，有兩個相同的實根；當Δ小於0時，無實根。根的判別式是判定方程是否有實根的充要條件，也可以判斷出方程有幾個實數根。

一元二次不等式可以轉化成一元二次方程，用根的判別式可以判斷方程根的情況，從而判斷不等式解的情況，所以一元二次不等式與根的判別式有密切關係。