arctanx=1/(1+x²)。anx是正切函式，其定義域是{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}，值域是R。arctanx是反正切函式，其定義域是R,反正切函式的值域為（-π/2,π/2）。



1推導過程

設x=tant，則t=arctanx，兩邊求微分

dx=[(cos²t+sin²t)/(cos²x)]dt

dx=(1/cos²t)dt

dt/dx=cos²t

dt/dx=1/(1+tan²t)

因為x=tant

所以上式t'=1/(1+x²)

2tanx與arctanx的區別

1、兩者的定義域不同

（1）tanx的定義域為{x|x≠(π/2)+kπ，其中k為整數}。

（2）arctanx的定義域為R，即全體實數。

2、兩者的值域不同

（1）tanx的值域為R，即全體實數。

（2）arctanx的值域為(-π/2,π/2)。

3、兩者的週期性不同

（1）tanx為週期函式，最小正週期為π。

（2）arctanx不是週期函式。

4、兩者的單調區間不同

（1）tanx有單調區間(-π/2+kπ，+π/2+kπ)，k為整數，且在該區間為單調增函式。

（2）arctanx為單調增函式，單調區間為（－∞，﹢∞）。

arctanx等於x時x應該等於0。下面我們來證明除了x=0外，不可能有x的其它值能使arctanx=x成立。

令y=arctanx一x，我們來證明f(x)是-個單調函式。y的導數等1/1+x^2一1，因為1+x^2≥1，因此1/1+x^2-1≤0，所以y=tanx一x是單調減函式，而當x=0時tanx一x=O，當x≠0時tanx一x≠0即tanx≠x。