跡是一種線性運算元。亦即，對於任兩個方陣A、B和標量r，會有下列關係：

tr(A + B) = tr(A) + tr(B)

tr(rA) = r tr(A)

因為主對角線不會在轉置矩陣中被換掉，所以所有的矩陣和其轉置矩陣都會有相同的跡：

tr(A) = tr(AT)

設A是一個n×m矩陣，B是個m×n矩陣，則：

tr(AB) = tr(BA)

其中AB是n×n矩陣，而BA是m×m矩陣。

上述可以由矩陣乘法的定義證明：

利用這個結果，我們可以推匯出方陣的乘積和其任何迴圈置換的乘積會有相同的跡，稱為跡的“迴圈性質”。例如，有三個方陣A、B、C，則：

tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA)

更一般化地，當矩陣不被假設為方陣，但其所有乘積依然存在時，其跡依然會完全相同。

若A、B、C為有著相同維度的方陣而且對稱的話，其乘積的跡不只在迴圈置換下不會改變，而是在所有的置換下均不會改變，亦即

tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA) = tr(BAC) = tr(CBA) = tr(ACB)

跡擁有相似不變性，即A和P?1AP會有相同的跡，儘管總是存在一相同跡但不相似的矩陣。這一性質可使上面講過的迴圈性質來證明：

tr(P?1AP) = tr(PP?1A) = tr(A)

給定任一線性對映f : V → V（V是一有限維向量空間），我們可以定義此一對映的跡為其矩陣表示式的跡，即選定V的一基並描述f為一對應於此基的矩陣，再取此一方陣的跡。其結果將和所選取的基無關，當不同的基都會得出相似的矩陣。