解：令y=arctanx，則x=tany。

對x=tany這個方程“=”的兩邊同時對x求導，則

（x）'=（tany）'

1=sec²y*（y）'，則

（y）'=1/sec²y

又tany=x，則sec²y=1+tan²y=1+x²

得，（y）'=1/（1+x²）

即arctanx的導數為1/（1+x²）。

擴充套件資料：

1、導數的四則運算（u與v都是關於x的函式）

（1）（u±v）'=u'±v'

（2）（u*v）'=u'*v+u*v'

（3）（u/v）'=（u'*v-u*v'）/v²

2、導數的基本公式

C'=0（C為常數）、（x^n）'=nx^(n-1)、（sinx）'=cosx、（cosx）'=-sinx、（tanx）'=sec²x、（secx）'=tanxsecx

3、求導例題

（1）y=4x^4+sinxcosx，則（y）'=（4x^4+sinxcosx）'

=（4x^4）'+（sinxcosx）'

=16x^3+（sinx）'*cosx+sinx*（cosx）'

=16x^3+cosx²x-sinx²x

=16x^3+cos2x

（2）y=x/（x+1），則（y）'=（x/（x+1））'

=（x'*（x+1）-x*（x+1）'）/（x+1）²

=（（x+1）-x）/（x+1）²

=1/（x+1）²