先說單射設f是集合A到集合B的一個對映，如果對於任意a，b屬於A，當a不等於b時有f（a）不等於f（b），則稱f是A到B 內 的一一對映或稱f是A到B的 單對映 。再說滿射如果對任意的b屬於B都有一個a屬於A使得f（a）=b，則稱f是A到B上的對映，或稱f是A到B的滿對映。繼續是逆對映設有對映f：A->B,如果存在對映g：B->A使得g*f=IA,f*g=IB其中IA,IB分別是A與B上的恆等對映，則稱g為f的逆對映。複合對映個人覺得是對映的乘法。

如果A :X→Y是巴拿赫空間之間的連續線性滿射，那麼A就是一個開對映。為此，只需證明A把X內的單位球對映到Y的原點的一個鄰域。

設U，V分別為X和Y內的單位球。那麼X是單位球的倍數kU的序列的交集，k∈N，且由於A是滿射，

根據貝爾綱定理，巴拿赫空間Y不能是可數個無處稠密集的並集，故存在k>0，使得A（kU）的閉包具有非空的內部。因此，存在一個開球B（c,r），其中心為c，半徑r>0，包含在A（kU）的閉包內。如果v∈V，那麼c+rv和c位於B（c,r）內，因此是A（kU）的極限點，根據加法的連續性，它們的差rv是A（kU）−A（kU）⊂A（2kU）的極限點。根據A的線性，這意味著任何v∈V都位於A（δU）的閉包內，其中δ=r / （2k）。於是可以推出，對於任何y∈Y和任何ε>0，都存在某個x∈X，滿足：

<IMGclass=texalt="\||x||且<IMGclass=texalt="\quad||y-Ax||

固定y∈δV。根據（1），存在某個x 1，滿足||x 1||<1且||y−Ax 1||<δ / 2。定義序列{xn}如下。假設：

<IMGclass=texalt="\||x_{n}||且<IMGclass=texalt="\quad||y-A（x_1+x_2+\cdots+x_n）||

根據（1），可以選擇xn +1，使得：

<IMGclass=texalt="\||x_{n+1}||且<IMGclass=texalt="\quad||y-A（x_1+x_2+\cdots+x_n）-A（x_{n+1}）||

因此xn +1滿足（2）。設

從（2）的第一個不等式可知，{sn}是一個柯西序列，且由於X是完備的，sn收斂於某個x∈X。根據（2），序列Asn趨於y，因此根據A的連續性，有Ax=y。而且：

<IMGclass=texalt="||x||=\lim_{n\rightarrow\infty}||s_n||\leq\sum_{n=1}^\infty||x_n||

這表明每一個y∈δV都屬於A（2U），或等價地，X內的單位球的像A（U）包含了Y內的開球（δ / 2）V。因此，A（U）是Y內0的鄰域，定理得證