旋轉軸 y=2a 正好位於擺線頂端,旋轉體體積：V=∫π[4a²-(2a-y)²]dx,x積分割槽間是一個拱圈[0,2πa]；

以引數方程表示,V=8π²a³-∫π(2a-a+acost)²*a(1-cost)dt,t=[0,2π]；

V=8π²a³-πa³∫(1+cost)²(1-cost)dt=8π²a³-πa³∫(1+cost)sin²t dt

=8π²a³-πa³∫sin²t dt=8π²a³-πa³∫(1-cos2t)dt/2=8π²a³-πa³/2；

旋轉體表面積的公式S=∫2πf(x)*(1+y'²)dx，體積公式為Vy=∫(2πx*f(x)*dx)=2π∫xf(x)dx。

在x軸上取x→x+△x【△x→0】區域，該區域繞x軸旋轉一週得到的旋轉曲面的面積，即表面積積分元。等於以f(x)為半徑的圓週週長×弧線長度，即它可以看做是沿x軸方向上，將△x寬度的圓環帶剪斷，得到一個以圓環帶周長為長，寬為x→x+△x弧線長度的矩形的面積。

以f(x)為半徑的圓周長=2πf(x)，對應的弧線長=√(1+y'^2)△x，所以其面積=2πf(x)*√(1+y'^2)△x

這就得到表面積積分元，所以，表面積為∫2πf(x)*(1+y'^2)dx。

將a到b的數軸等分成n分，每份寬△x，則函式繞y軸旋轉，每一份的體積為一個圓環柱，該圓環柱的底面圓的周長為2πx，所以底面面積約為2πx*△x，該圓環柱的高為f(x)，所以當n趨向無窮大時，Vy=∫(2πx*f(x)*dx)=2π∫xf(x)dx。

物理求體積的公式是V=m/ρ，ρ表示密度，m表示質量，V表示體積。體積是物件佔有多少空間的量，體積的國際單位制是立方米。一件固體物件的體積是一個數值用以形容該物件在三維空間所佔有的空間。體積公式是用於計算體積的公式，即計算各種幾何體（比如：圓柱、稜柱、錐體、臺體、球體、橢球體等）體積的數學算式。體積公式也值不同體積單位之間進行換算所用的公式。

由旋轉拋物面的性質,所圍體積等於y=x²圍繞y軸旋轉所得體積,積分割槽域x（0,1） V=∫πx²dy=

2∫πx³dx=π/2

繞x軸旋轉體體積公式是V=π∫[a，b]f(x)^2dx。

一條平面曲線繞著所在的平面內的一條定直線旋轉所形成的曲面叫作旋轉面；該定直線叫做旋轉體的軸；封閉的旋轉面圍成的幾何體叫作旋轉體。

繞y軸旋轉體積公式：V=π∫[a，b]φ(y)^2dy。

繞x軸旋轉體的側面積為A=2π∫[a，b]y*(1+y'^2)^0.5dx,其中y'^2是y對x的導數的平方，()^0.5是開平方。