交錯級數

交錯級數是正項和負項交替出現的級數，形式滿足a1-a2+a3-a4+.......+(-1)^(n+1)an+......，或者-a1+a2-a3+a4-.......+(-1)^(n)an，其中an>0。在交錯級數中，常用萊布尼茨判別法來判斷級數的收斂性，即若交錯級數各項的絕對值單調遞減且極限是零，則該級數收斂；此外，由萊布尼茨判別法可得到交錯級數的餘項估計。最典型的交錯級數是交錯調和級數。

基本資訊

中文名

交錯級數

應用學科

高等數學

外文名

alternating series

適用領域

數學

表示式

a1-a2+a3-a4-.......+(-1)^(n+1)

本質

結構最簡單的是正負號相間的級數

基本內容

滿足a1-a2+a3-a4.......+(-1)^(n+1)an

或者-a1+a2-a3+a4.......+(-1)^(n)an的級數，就是交錯級數。

如果一個級數沒有正項，或者只有有限個正項，或者只有有限個負項，則其收斂問題都可以歸結到一個正項級數的收斂問題，所以只需考慮一個級數既有無限個正項又有無限個負項的情形。在這種級數中，結構最簡單的是正負號逐項相間的級數，叫做交錯級數：對此有萊布尼茨定理若一交錯級數的項的絕對值單調趨於零，則這級數收斂。

顯然，一個交錯級數在形式上可以看成兩個正項級數之差

同樣,每一個級數在形式上都可以看成兩個正項級數(即這級數的“正部分”與“負部分”）之差：

不過，這樣分解只有當分解成的級數都收斂的前提下才是有意義的，這就導致人們來考慮一個級數逐項取絕對值後所得到的正項級數是否收斂的問題

交錯級數如果發散的話，它可以取任一值。如果它收斂的話，就看它的所有取正值項和所有取負值項的和的絕對值來確定其極限是正值，還是負值了。

當其所有正值項的和趨於+∞，所有負值項的和趨於-∞時，就用這兩個極限的比值來確定交錯級數極限的正負性。即，比值大於1時，收斂於一非零正數。比值等於1，收斂於0。比值小於1時，收斂於一負數。