無界是數列發散的充分但不必要條件。也就是說如果數列無界，那麼數列必定發散，比如an=n²，是無界的，那它必是發散的；但是即使數列有界，也有可能是發散的，比如an=sin(n), 是有界的，但它也是發散的。 反過來說，數列發散是無界的必要但不充分條件。也就是說如果數列發散，那該數列不一定無界，比如振盪數列。

當然了，可以用反證法證明，設數列{an}收斂於a，那麼由極限定義，一定存在正整數N，當n>N時，有|an-a|<1,即有當n>N時，a-1<an<a+1,又令M，m分別為前N-1項中的最大值與最小值，那麼有對任意的正整數n有,min{a-1,m}<=an<=max{a+1,M}即數列{an}有界，從而無界數列一定發散。注：證明中的“1”可以是任何正整數min{a,b},max{a,b}分別表示兩個數中的較小值和較大值

原理如下：

具體思路因題而異。可以透過證明數列無界、子數列無界、子數列收斂到不同極限等方法來證明。

1、設數列{Xn}，如果存在常數，對於任意給定的正數q（無論多小），總存在正整數N，使得n>N時，恆有|Xn-a|<q成立，就稱數列{Xn}收斂於a（極限為a），即數列{Xn}為收斂。

2、求數列的極限，如果數列項數n趨於無窮時，數列的極限能一直趨近於實數a，那麼這個數列就是收斂的；如果找不到實數a，這個數列就是發散的。看n趨向無窮大時，Xn是否趨向一個常數,可是有時Xn比較複雜,並不好觀察。這種是最常用的判別法是單調有界既收斂。

3、加減的時候，把高階的無窮小直接捨去如 1 + 1/n，用1來代替乘除的時候，用比較簡單的等價無窮小來代替原來複雜的無窮小來如 1/n * sin(1/n) 用1/n^2 來代替。

4、收斂數列的極限是唯一的，且該數列一定有界，還有保號性，與子數列的關係一致。不符合以上任何一個條件的數列是發散數列。



擴充套件資料：

1、數列收斂與存在極限的關係：數列收斂則存在極限，這兩個說法是等價的；

2、數列收斂與有界性的關係：數列收斂則數列必然有界，但是反過來不一定成立。

例如：Xn=1，-1，1，-1,.....|Xn|<=1，是有界的，但是Xn不收斂。

設有數列Xn , 若存在M>0，使得一切自然數n，恆有|Xn|<M成立，則稱數列Xn有界。如果數列{Xn}收斂，那麼該數列必定有界。推論：無界數列必定發散，數列有界，不一定收斂；數列發散不一定無界。數列有界是數列收斂的必要條件，但不是充分條件。

無界數列一定發散，完全正確。發散是相對於收斂說的，數列是無界的自然不可能是收斂的，那麼一定是發散的。反著說：發散數列必定無界，錯誤，舉例：振盪數列1，－1，1，－1，1，－1·······