訊號的能量頻譜的函式值為常數時，該函式是衝擊函式δ(t)。

由時間函式求頻譜函式的傅立葉變換就是將該時間函式乘以以頻率為係數的指數函式之後，在從負無限大到正無限大的整個區間內對時間進行積分，這樣就得到了與這個時間函式對應的，以頻率為自變數的頻譜函式。頻譜函式是訊號的頻域表示方式。根據上述傅立葉變換公式，可以求出常數（直流訊號）的頻譜函式為頻域中位於零頻率處的一個衝激函式，表示直流訊號就是一個頻率等於零的訊號。

與此相反，衝激函式的頻譜函式等於常數，表示衝激函式含有無限多個、頻率無限密集的正弦成分。

同樣的，單個正弦波的頻譜函式就是頻域中位於該正弦波頻率處的一對沖激函式。

該函式影象可看做將單位階躍函式u(t)影象關於原點對稱後，再向右平移一個單位得到的。

令g(t)為u(t)影象關於原點對稱的函式，即g(t)=-u(-t)。

根據相似性定理，g(t)的傅立葉變換G（w)=-U(-w),U(w)為u(t)的傅立葉變換=(1/jw)+πδ（w)，又因為δ（w)為偶函式，所以G（w)=(1/jw)-πδ（w)。

因為f(t)=g(t-1)，根據位移性質，f(t)的傅立葉變換F（w)=e^(-jw)*G(w)=-e^(-jw)*(πδ（w)-1/jw),即頻譜。

頻譜是指一個時域的訊號在頻域下的表示方式，可以針對訊號進行傅立葉變換而得，所得的結果會是以分別以幅度及相位為縱軸，頻率為橫軸的兩張圖，不過有時也會省略相位的資訊，只有不同頻率下對應幅度的資料。有時也以“幅度頻譜”表示幅度隨頻率變化的情形，“相位頻譜”表示相位隨頻率變化的情形。

簡單來說，頻譜可以表示一個訊號是由哪些頻率的弦波所組成，也可以看出各頻率弦波的大小及相位等資訊。