特徵多項式 = (λ-1)^2 (λ+1)。 二重特徵值是指特徵值是特徵多項式的2重根。 如A的特徵多項式為|λE-A |=（λ-2）(λ^2-8λ+18+3a）。

當λ=2是特徵方程的二重根，則有2^2-8*2+18+3a=0，解得a=-2。

若λ=2不是特徵方程的二重根,則(λ^2-8λ+18+3a）為完全平方，從18+3a=16而，解得 a。

設 A 是n階方陣，如果存在數m和非零n維列向量 x，使得 Ax=mx 成立，則稱 m 是A的一個特徵值或本徵值。

非零n維列向量x稱為矩陣A的屬於（對應於）特徵值m的特徵向量或本徵向量，簡稱A的特徵向量或A的本徵向量。

首先將二次型對應的對稱矩陣表示出來，然後根據對稱矩陣的特徵方程，求出對稱矩陣的特徵值。

根據Aα＝λα，解矩陣方程，求出特徵向量。這裡要注意如果特徵值是重根，要對重根的特徵向量進行施密特正交化，實對稱矩陣不同特徵值對應的特徵向量是相互正交的。

將求得的特徵向量進行單位化，構成矩陣，即可得到正交矩陣。

特徵多項式 = (λ-1)^2 (λ+1)。 二重特徵值是指特徵值是特徵多項式的2重根。 如A的特徵多項式為|λE-A |=（λ-2）(λ^2-8λ+18+3a）。 當λ=2是特徵方程的二重根，則有2^2-8*2+18+3a=0，解得a=-2。 若λ=2不是特徵方程的二重根,則(λ^2-8λ+18+3a）為完全平方，從18+3a=16而，解得 a。 設 A 是n階方陣，如果存在數m和非零n維列向量 x，使得 Ax=mx 成立，則稱 m 是A的一個特徵值或本徵值。非零n維列向量x稱為矩陣A的屬於（對應於）特徵值m的特徵向量或本徵向量，簡稱A的特徵向量或A的本徵向量。

需要得到的特徵向量之間應該是線性無關的，這個題中的特徵向量組的也可以為（1，0，0，-3）T,（0，1，0，2）T，（0,0,1,1）T,求特徵向量時因簡化過程多樣，所得的特徵向量也不同，但得到的特徵向量組應線性無關。因為基礎解系是線性無關的。

例如：

二階矩陣

第一行是1

第二行是0

它的二重特徵根是1，但只能求出一個線性無關的特徵向量。

擴充套件資料：

設A是n階方陣，如果數λ和n維非零列向量x使關係式Ax=λx成立，那麼這樣的數λ稱為矩陣A特徵值，非零向量x稱為A的對應於特徵值λ的特徵向量。式Ax=λx也可寫成( A-λE)X=0。這是n個未知數n個方程的齊次線性方程組，它有非零解的充分必要條件是係數行列式| A-λE|=0。

設A是數域P上的一個n階矩陣，λ是一個未知量，係數行列式|A-λE|稱為A的特徵多項式，記¦(λ)=|λE-A|，是一個P上的關於λ的n次多項式，E是單位矩陣。