r(A)=n時，齊次線性方程組只有零解，r(A)<n時，有無窮解。

r(A|b)不等於r(A)時，非齊次線性無解，r(A|b)=r(A)<n時，無窮解，等於n時，唯一解。

補充：當A為n階方陣且可逆時，非齊次線性方程組的唯一解可由克拉默法則解得：x(j)=|Aj|/|A|,|Aj|為用b代替|A|中第j列所得到的行列式。

非齊次線性方程組Ax=b的求解步驟：

（1）對增廣矩陣B施行初等行變換化為行階梯形。若R(A)<R(B)，則方程組無解。

（2）若R(A)=R(B)，則進一步將B化為行最簡形。

（3）設R(A)=R(B)=r；把行最簡形中r個非零行的非0首元所對應的未知數用其餘n-r個未知數（自由未知數）表示。

擴充套件資料：

非齊次線性方程組有唯一解的充要條件是rank(A)=n。

非齊次線性方程組有無窮多解的充要條件是rank(A)<n。（rank(A)表示A的秩）

非齊次線性方程組的通解=齊次線性方程組的通解+非齊次線性方程組的一個特解（η=ζ+η*）

對齊次線性方程組的係數矩陣施行初等行變換化為階梯型矩陣後，不全為零的行數r（即矩陣的秩）小於等於m（矩陣的行數），若m<n，則一定n>r,則其對應的階梯型n-r個自由變元，這個n-r個自由變元可取任意取值，從而原方程組有非零解（無窮多個解）。

有四種方法:

第一種，證明係數矩陣的秩小於N(N是未知量的個數)

第二種，如果係數矩陣是方陣的話，證明它的行列式等於0

第三種，齊次線性方程組

X1A1+X2A2+.+XNAN=0有非零解。

第四種。定義法。對於給定向量組A，存在不全為零的數K1.K2.KN。