一、函式的起源（產生）
十六、十七世紀，歐洲資本主義國家先後興起，為了爭奪霸權，迫切需要發展航海和軍火工業。為了發展航海事業，就需要確定船隻在大海中的位置，在地球上的經緯度；要打仗，也需知道如何使炮彈打的準確無誤等問題， 這就促使了人們對各種“運動”的研究，對各種運動中的數量關係進行研究，這就為函式概念的產生提供了客觀實際需要的基礎。
十七世紀中葉，笛卡兒（Descartes）引入變數（變數）的概念，制定瞭解析幾何學，從而打破了局限於方程的未知數的理解；後來，牛頓（ Newton）、萊布尼茲（Leibniz）分別獨立的建立了微分學說。這期間，隨著數學內容的豐富，各種具體的函式已大量出現，但函式還未被給出一個一般的定義。牛頓於 1665年開始研究微積分之後，一直用“流量”（ fluent）一詞來表示變數間的關係。
1673年，萊布尼茲在一篇手稿裡第一次用“函式”（ fluent）這一名詞，他用函式表示任何一個隨著曲線上的點的變動而變動的量。（定義1）這可以說是函式的第一個“定義”。例如，切線，弦，法線等長度和橫、縱座標，後來，又用這個名詞表示冪，即表示 x , x2, x3,…。顯然，“函式”這個詞最初的含義是非常的模糊和不準確的。
人們是不會滿足於這樣不準確的概念，數學家們紛紛對函式進行進一步討論。
二、函式概念的發展與完善
⒈以“變數”為基礎的函式概念
在 1718年，瑞士科學家，萊布尼茲的學生約翰·貝奴裡（Bernoulli,Johann）給出了函式的明確定義：變數的函式是由這些變數與常量所組成的一個解析表示式。（定義2）並在此給出了函式的記號φx。這一定義使得函式第一次有了解析意義。
十八世紀中葉，著名的數學家達朗貝爾 （D’Alembert）和尤拉（ Euler）在研究弦振動時，感到有必要給出函式的一般定義。達朗貝爾認為函式是指任意的解析式，在 1748年尤拉的定義是：函式是隨意畫出的一條曲線。（定義 3）在此之前的 1734年，尤拉也給出了一種函式的符號f(x),這個符號我們一直沿用至今。
實際上，這兩種定義（定義 1和定義 2）就是現在通用的函式的兩種表示方法：解析法和影象法。後來，由於富里埃級數的出現，溝通了解析式與曲線間的聯絡，但是用解析式來定義函式，顯然是片面的，因為有很多函式是沒有解析式的,如狄利克雷函式。
1775年，尤拉在《微分學原理》一書的前言中給出了更廣泛的定義：如果某些變數，以這樣一種方式依賴與另一些變數，即當後面這些變數變化時，前面這些變數也隨之而變化，則將前面的變數稱為後面變數的函式。（定義 4）這個定義樸素地反映了函式中的辨證因素，體現了“自變”到“因變”的生動過程 ,但未提到兩個變數之間的對應關係，因此它並未反映出真正意義上的科學函式概念的特徵，只是科學的定義函式概念的“雛形”。
函式是從研究物體運動而引出的一個概念，因此前幾種函式概念的定義只是認識到了變數“變化”的關係，如自由落體運動下降的路程，單擺運動的幅角等都可以是看成時間的函式。很明顯，只從運動中變數“變化”觀點來理解函式，對函式概念的瞭解就有一定的侷限性。如對常值函式 ,不好解釋。
十九世紀初，拉克若斯（ Lacroix）正式提出只要有一個變數依賴另一個變數，前者就是後者的函式。 1834年 ,俄國數學家羅巴契夫斯基（Лобачевский）進一步提出函式的定義： x的函式是這樣的一個數，它對於每一個 x都有確定的值，並且隨著 x一起變化，函式值可以由解析式給出，這個條件提供了一種尋求全部對應值的方法，函式的這種依賴關係可以存在，但仍然是未知的。（定義 5）這實際是“列表定義”，好像有一個“表格”，其中一欄是 x值，另一欄是與它相對應的 y值。這個定義指出了對應關係（條件）的必要性，把函式的“對應”思想表現出來，而“對應”概念正是函式概念的本質與核心。
十九世紀法國數學家柯西（ Cauchy）更明確的給出定義：有兩個互相聯絡的變數，一個變數的數值可以在某一範圍內任意變化，這樣的變數叫做自變數，另一個變數的數值隨著自變數的數值而變化，這個變數稱為因變數，並且稱因變數為自變數的函式。（定義 6）
1829年 ,狄利克雷（ Dirichlet）給出了所謂狄利克雷函式： y=1 當 x為有理數時； y=0 當 x為無理數時。這個函式並不複雜，但不能用解析式來表示，這一思想的提出，正是數學由過去的研究“算”到以後研究“概念、性質、結構”的轉變的開端。 1837年他對函式下的定義是：在某個變化過程中，有兩個變數 x和 y。如果對於 x在某一範圍內的每一個確定的值，按照某個對應關係， y都有唯一確定值和它對應，則 y稱為 x的函式； x稱為自變數。（定義 7）這個定義的優點是直截了當地強調與突出了“對應”關係,抓住了概念的本質屬性，只須有一個法則存在，使得這個函式定義域中的每一個值有一個確定的 y值和它對應就行了，不管這個法則是公式或影象或表格或其他形式;其缺點是把生動的函式變化思想省略和簡化掉了。
⒉以“集合”為基礎的函式概念
函式的概念是隨著數學的發展而發展的。函式的定義在數學的發展過程中，不斷的改進，不斷的抽象，不斷的完善。十九世紀七十年代，德國數學家康託（ G.Cantor）提出了集合論。進入二十世紀後，伴隨著集合論的發展，函式的概念也取得了新的進展，它終於擺脫了數域的束縛向更廣闊的研究領域擴大，使概念獲得了現代化。
二十世紀初美國數學家維布倫（ Weblan）給出了函式的如下定義：若在變數 y的集合與另一變數 x的集合之間，有這樣的關係成立，即對 x的每一個值，有完全確定的 y值與之對應，則稱 y是變數 x的函式。（定義 8）從這個定義開始，函式概念已把基礎建立在集合上面，而前七個定義則是把基礎建立在變數（數）上的。
隨著時間的推移，函式便被明確的定義為集合之間的對應關係，其定義是： A和 B是兩個集合，如果按照某種對應關係，使 A的任何一個元素在 B中都有唯一的元素和它對應，這樣的對應關係成為從集合 A到集合 B的函式。（定義 9）此定義根據對映的概念，用“對映”觀點建立函式概念，其又可敘述為：從集合 A到集合 B的對映 f： A→ B稱為集合 A到集合 B的函式，簡稱函式 f 。（定義 10）以上三個定義，已打破數域的束縛，將集合中的元素改為抽象的，可以是數，也可以不是數，而是其它一切有形或無形的東西，如 X是所有三角形的集合， Y是所有圓的集合，則 f 可以是把每一個三角形對映成它的外接圓的對映。
對新函式定義可以這樣理解：函式是一個對應（規則），對於某一範圍（集合）的元素，按照這個對應（規則）確定另一個元素。這樣函式概念從狹義的“變化”觀點轉化到較廣義的“對應”觀點,函式即是一個對應（規則）。
對函式概念用“對應”（“規則”）來理解比起最初階段雖然揭示出了函式概念的實質，但它還不符合我們最低限度地使用未被定義的術語的意圖。因為什麼叫“對應”和怎樣理解“規則”還需要定義，例如規則不同，那麼是否函式也不同呢？如f(x)=x與f(x)=(1+x)-1當然是不同的規則但卻定義了同一函式。
為了解決這一矛盾，二十世紀初，特別是在六十年代以後，廣泛採用只涉及“集合”這一概念的函式定義，而集合作為原始概念是不予定義的，這樣的定義是：設 A、 B是任意兩個集合， f是笛卡兒集 A× B的一個子集，滿足：①對任意的 a ∈ A，存在一個 b∈B，使得 (a,b)∈ f，②若 (a,b)∈ f， (a,c)∈ f則 b=c。則稱 f為 A到 B的一個函式。記作 f:A→B。（定義11）這個定義利用“關係”這個概念，便給出了只涉及原始概念“集合”的函式的一般定義，即不需要用到“對應”，又避免了對“規則”的解釋，只要集合理論適用一切數學領域，這樣給出的函式定義總是適用的。它可稱的上是最現代的定義了。
到此，“函式”最完善的定義（定義 11）已給出，作為數學中最基本的概念之一，已把基礎直接建立在集合上面，即把函式看作是從一個集合到另一個集合的對應，它和“對映”實際上是一回事。
三、新舊兩種定義的比較
比較新定義（把以集合為基礎的函式定義稱為新的定義方式，而以變數（數）為基礎的定義稱為舊的定義方式。）和舊定義，它們之間有兩個重要的區別：
⑴舊定義是建立在“變數”這個基本概念上的，而新定義則建立在“集合”這個基本概念上。什麼是變數呢？通常把它理解為在選定一個單位以後，可加以度量的東西，如長度、質量、時間之類，這種理解一方面太疏於籠統，只能透過舉例來說明，而難於加以精確化；另一方面，由於涉及大小關係，嫌過於狹窄，無法體現應用上的普遍性。其次，即使什麼是“量”的問題不存在，作為變數，它須在某一範圍取值（不一定是數值），這一定範圍實際上就是事先得假定的一個集合 A（它構成函式的定義域），所謂“變數取值 a”，實質上就是“ a屬於 A”的一種變相迂迴的說法。可見，在變數的概念中已蘊含集合的思想。
⑵舊定義中以“因變數”為函式，而新定義中則以“對應關係”為函式。函式概念的實質，主要的並不是因變數要隨自便量“變”，而是兩集合之間存在某種確定的對應關係。顯然，新定義更能直接地揭示出函式的實質。
一、函式的起源（產生）
十六、十七世紀，歐洲資本主義國家先後興起，為了爭奪霸權，迫切需要發展航海和軍火工業。為了發展航海事業，就需要確定船隻在大海中的位置，在地球上的經緯度；要打仗，也需知道如何使炮彈打的準確無誤等問題， 這就促使了人們對各種“運動”的研究，對各種運動中的數量關係進行研究，這就為函式概念的產生提供了客觀實際需要的基礎。
十七世紀中葉，笛卡兒（Descartes）引入變數（變數）的概念，制定瞭解析幾何學，從而打破了局限於方程的未知數的理解；後來，牛頓（ Newton）、萊布尼茲（Leibniz）分別獨立的建立了微分學說。這期間，隨著數學內容的豐富，各種具體的函式已大量出現，但函式還未被給出一個一般的定義。牛頓於 1665年開始研究微積分之後，一直用“流量”（ fluent）一詞來表示變數間的關係。
1673年，萊布尼茲在一篇手稿裡第一次用“函式”（ fluent）這一名詞，他用函式表示任何一個隨著曲線上的點的變動而變動的量。（定義1）這可以說是函式的第一個“定義”。例如，切線，弦，法線等長度和橫、縱座標，後來，又用這個名詞表示冪，即表示 x , x2, x3,…。顯然，“函式”這個詞最初的含義是非常的模糊和不準確的。
人們是不會滿足於這樣不準確的概念，數學家們紛紛對函式進行進一步討論。
二、函式概念的發展與完善
⒈以“變數”為基礎的函式概念
在 1718年，瑞士科學家，萊布尼茲的學生約翰·貝奴裡（Bernoulli,Johann）給出了函式的明確定義：變數的函式是由這些變數與常量所組成的一個解析表示式。（定義2）並在此給出了函式的記號φx。這一定義使得函式第一次有了解析意義。
十八世紀中葉，著名的數學家達朗貝爾 （D’Alembert）和尤拉（ Euler）在研究弦振動時，感到有必要給出函式的一般定義。達朗貝爾認為函式是指任意的解析式，在 1748年尤拉的定義是：函式是隨意畫出的一條曲線。（定義 3）在此之前的 1734年，尤拉也給出了一種函式的符號f(x),這個符號我們一直沿用至今。
實際上，這兩種定義（定義 1和定義 2）就是現在通用的函式的兩種表示方法：解析法和影象法。後來，由於富里埃級數的出現，溝通了解析式與曲線間的聯絡，但是用解析式來定義函式，顯然是片面的，因為有很多函式是沒有解析式的,如狄利克雷函式。
1775年，尤拉在《微分學原理》一書的前言中給出了更廣泛的定義：如果某些變數，以這樣一種方式依賴與另一些變數，即當後面這些變數變化時，前面這些變數也隨之而變化，則將前面的變數稱為後面變數的函式。（定義 4）這個定義樸素地反映了函式中的辨證因素，體現了“自變”到“因變”的生動過程 ,但未提到兩個變數之間的對應關係，因此它並未反映出真正意義上的科學函式概念的特徵，只是科學的定義函式概念的“雛形”。
函式是從研究物體運動而引出的一個概念，因此前幾種函式概念的定義只是認識到了變數“變化”的關係，如自由落體運動下降的路程，單擺運動的幅角等都可以是看成時間的函式。很明顯，只從運動中變數“變化”觀點來理解函式，對函式概念的瞭解就有一定的侷限性。如對常值函式 ,不好解釋。
十九世紀初，拉克若斯（ Lacroix）正式提出只要有一個變數依賴另一個變數，前者就是後者的函式。 1834年 ,俄國數學家羅巴契夫斯基（Лобачевский）進一步提出函式的定義： x的函式是這樣的一個數，它對於每一個 x都有確定的值，並且隨著 x一起變化，函式值可以由解析式給出，這個條件提供了一種尋求全部對應值的方法，函式的這種依賴關係可以存在，但仍然是未知的。（定義 5）這實際是“列表定義”，好像有一個“表格”，其中一欄是 x值，另一欄是與它相對應的 y值。這個定義指出了對應關係（條件）的必要性，把函式的“對應”思想表現出來，而“對應”概念正是函式概念的本質與核心。
十九世紀法國數學家柯西（ Cauchy）更明確的給出定義：有兩個互相聯絡的變數，一個變數的數值可以在某一範圍內任意變化，這樣的變數叫做自變數，另一個變數的數值隨著自變數的數值而變化，這個變數稱為因變數，並且稱因變數為自變數的函式。（定義 6）
1829年 ,狄利克雷（ Dirichlet）給出了所謂狄利克雷函式： y=1 當 x為有理數時； y=0 當 x為無理數時。這個函式並不複雜，但不能用解析式來表示，這一思想的提出，正是數學由過去的研究“算”到以後研究“概念、性質、結構”的轉變的開端。 1837年他對函式下的定義是：在某個變化過程中，有兩個變數 x和 y。如果對於 x在某一範圍內的每一個確定的值，按照某個對應關係， y都有唯一確定值和它對應，則 y稱為 x的函式； x稱為自變數。（定義 7）這個定義的優點是直截了當地強調與突出了“對應”關係,抓住了概念的本質屬性，只須有一個法則存在，使得這個函式定義域中的每一個值有一個確定的 y值和它對應就行了，不管這個法則是公式或影象或表格或其他形式;其缺點是把生動的函式變化思想省略和簡化掉了。
⒉以“集合”為基礎的函式概念
函式的概念是隨著數學的發展而發展的。函式的定義在數學的發展過程中，不斷的改進，不斷的抽象，不斷的完善。十九世紀七十年代，德國數學家康託（ G.Cantor）提出了集合論。進入二十世紀後，伴隨著集合論的發展，函式的概念也取得了新的進展，它終於擺脫了數域的束縛向更廣闊的研究領域擴大，使概念獲得了現代化。
二十世紀初美國數學家維布倫（ Weblan）給出了函式的如下定義：若在變數 y的集合與另一變數 x的集合之間，有這樣的關係成立，即對 x的每一個值，有完全確定的 y值與之對應，則稱 y是變數 x的函式。（定義 8）從這個定義開始，函式概念已把基礎建立在集合上面，而前七個定義則是把基礎建立在變數（數）上的。
隨著時間的推移，函式便被明確的定義為集合之間的對應關係，其定義是： A和 B是兩個集合，如果按照某種對應關係，使 A的任何一個元素在 B中都有唯一的元素和它對應，這樣的對應關係成為從集合 A到集合 B的函式。（定義 9）此定義根據對映的概念，用“對映”觀點建立函式概念，其又可敘述為：從集合 A到集合 B的對映 f： A→ B稱為集合 A到集合 B的函式，簡稱函式 f 。（定義 10）以上三個定義，已打破數域的束縛，將集合中的元素改為抽象的，可以是數，也可以不是數，而是其它一切有形或無形的東西，如 X是所有三角形的集合， Y是所有圓的集合，則 f 可以是把每一個三角形對映成它的外接圓的對映。
對新函式定義可以這樣理解：函式是一個對應（規則），對於某一範圍（集合）的元素，按照這個對應（規則）確定另一個元素。這樣函式概念從狹義的“變化”觀點轉化到較廣義的“對應”觀點,函式即是一個對應（規則）。
對函式概念用“對應”（“規則”）來理解比起最初階段雖然揭示出了函式概念的實質，但它還不符合我們最低限度地使用未被定義的術語的意圖。因為什麼叫“對應”和怎樣理解“規則”還需要定義，例如規則不同，那麼是否函式也不同呢？如f(x)=x與f(x)=(1+x)-1當然是不同的規則但卻定義了同一函式。
為了解決這一矛盾，二十世紀初，特別是在六十年代以後，廣泛採用只涉及“集合”這一概念的函式定義，而集合作為原始概念是不予定義的，這樣的定義是：設 A、 B是任意兩個集合， f是笛卡兒集 A× B的一個子集，滿足：①對任意的 a ∈ A，存在一個 b∈B，使得 (a,b)∈ f，②若 (a,b)∈ f， (a,c)∈ f則 b=c。則稱 f為 A到 B的一個函式。記作 f:A→B。（定義11）這個定義利用“關係”這個概念，便給出了只涉及原始概念“集合”的函式的一般定義，即不需要用到“對應”，又避免了對“規則”的解釋，只要集合理論適用一切數學領域，這樣給出的函式定義總是適用的。它可稱的上是最現代的定義了。
到此，“函式”最完善的定義（定義 11）已給出，作為數學中最基本的概念之一，已把基礎直接建立在集合上面，即把函式看作是從一個集合到另一個集合的對應，它和“對映”實際上是一回事。
三、新舊兩種定義的比較
比較新定義（把以集合為基礎的函式定義稱為新的定義方式，而以變數（數）為基礎的定義稱為舊的定義方式。）和舊定義，它們之間有兩個重要的區別：
⑴舊定義是建立在“變數”這個基本概念上的，而新定義則建立在“集合”這個基本概念上。什麼是變數呢？通常把它理解為在選定一個單位以後，可加以度量的東西，如長度、質量、時間之類，這種理解一方面太疏於籠統，只能透過舉例來說明，而難於加以精確化；另一方面，由於涉及大小關係，嫌過於狹窄，無法體現應用上的普遍性。其次，即使什麼是“量”的問題不存在，作為變數，它須在某一範圍取值（不一定是數值），這一定範圍實際上就是事先得假定的一個集合 A（它構成函式的定義域），所謂“變數取值 a”，實質上就是“ a屬於 A”的一種變相迂迴的說法。可見，在變數的概念中已蘊含集合的思想。
⑵舊定義中以“因變數”為函式，而新定義中則以“對應關係”為函式。函式概念的實質，主要的並不是因變數要隨自便量“變”，而是兩集合之間存在某種確定的對應關係。顯然，新定義更能直接地揭示出函式的實質。