導數為零的原因是在這個點處可能存在極值點，但具體是不是極值點要進一步的驗證。

奇偶函式在 x=0 處導數沒什麼專門的性質，因為有的奇偶函式在 x=0 的導數根本就不存在。例如，偶函式　　　　f(x) = |x|和奇函式　　　　g(x) = x^(1/3)在 x=0 的導數就不存在。　　奇函式在其對稱區間[a,b]和[-b，-a]上具有相同的單調性，即已知是奇函式，它在區間[a,b]上是增函式（減函式），則在區間[-b，-a]上也是增函式（減函式）；偶函式在其對稱區間[a,b]和[-b，-a]上具有相反的單調性，即已知是偶函式且在區間[a,b]上是增函式（減函式），則在區間[-b，-a]上是減函式（增函式）。但由單調性不能倒推其奇偶性。驗證奇偶性的前提要求函式的定義域必須關於原點對稱。

偶函式在零點的導數可能不存在，如果存在則等於0。

偶函式可能在零點沒有定義，因而不連續，此時導數不存在。比如y=|1/x|。自變數從正或負趨於0時，函式值都趨於無窮大。

如果偶函式f(x)在零點f(0)存在且可導，則導數必為零。這是因為f(x)=f(-x)，所以零點的左導數和右導數相同，結果必為零。

偶函式的導數一定是奇函式。奇函式是指對於一個定義域關於原點對稱的函式f（x）的定義域內任意一個x，都有f（-x）=-f（x），那麼函式f（x）就叫做奇函式。

如f(x)為偶函式,則其定義域上：f(x)=f(-x)

兩邊求導：f'(x)=-f'(-x),可知其一階導數為奇函式。