奇函式和偶函式的定積分性質

奇函式在對稱區間上的定積分為零偶函式在對稱區間上的定積分為其一半區間的兩倍。此性質簡稱為偶倍奇零。

一、奇函式性質：

1、圖象關於原點對稱

2、滿足f(-x) = - f(x)

3、關於原點對稱的區間上單調性一致

4、如果奇函式在x=0上有定義,那麼有f(0)=0

5、定義域關於原點對稱（奇偶函式共有的）

二、偶函式性質：

1、圖象關於y軸對稱

2、滿足f(-x) = f(x)

3、關於原點對稱的區間上單調性相反

4、如果一個函式既是奇函式有是偶函式,那麼有f(x)=0

5、定義域關於原點對稱（奇偶函式共有的）

偶函式性質：

1、圖象關於y軸對稱

2、滿足f(-x) = f(x)

3、關於原點對稱的區間上單調性相反

4、如果一個函式既是奇函式有是偶函式,那麼有f(x)=0

5、定義域關於原點對稱（奇偶函式共有的）

1、兩個奇函式相加所得的和或相減所得的差為奇函式。2、兩個奇函式相乘所得的積或相除所得的商為偶函式。3、一個偶函式與一個奇函式相乘所得的積或相除所得的商為奇函式。4、一個偶函式與一個奇函式相加所得的和或相減所得的差為非奇非偶函式。

奇函式和偶函式的判斷方法

按定義來說：對於函式f(x)的定義域內任意一個x,都滿足f(x)=f(-x)

所以,一般來說判斷一個函式是奇函式還是偶函式必須要將定義域中的的所有數帶入,這肯定不可能的.

那麼我們可以先看看定義域,奇偶函式的定義域必須是對稱的,一個函式的定義域若不是對稱的,那麼就不用判斷了,肯定不是.這個基本一看就能看出.

定義域對稱,這時候要判斷奇偶性,首先是利用公式,若能推出f(x)=f(-x) 或者f(x)=-f(-x),那麼就可以判定了.所以若是有表示式,一般是將-x帶入.

還有可以看影象,看圖象是否關於原點對稱（此為奇函式）或關於y軸對稱（此為偶函式）.

若以上兩種都沒有判斷出奇偶,一般就很可能是非奇非偶函數了.不過考慮有的函式表示式複雜,f(x)=f(-x) 或者f(x)=-f(-x)難以推斷,我們也可以將之分解,化成幾個函式相加減或乘除的形式,然後根據各自的奇偶性再判斷.當然這時要記住奇函式、偶函式相加減或乘除之後的奇偶變化.