你好，我是【讓心亮著】，很高興為你解答。定理（零點定理）設函式f(x)在閉區間[a,b]上連續，且f(a)與 f(b)異號（即f(a)× f(b)<0），那麼在開區間（a,b）內至少有函式f(x)的一個零點，即至少有一點ξ（a<ξ<b）使f(ξ)=0。更多專業的科普知識，歡迎關注我。如果喜歡我的回答，也請給我贊或轉發，你們的鼓勵，是支援我寫下去的動力，謝謝大家。

零點定理”是函式的一個定理，還有同名電影。我們還可以利用閉區間套定理來證明零點定理。

【函式】

設函式f(x)在閉區間[a,b]上連續，且f(a)與 f(b)異號(即f(a)× f(b)<0)，那麼在開區間(a,b)內至少有函式f(x)的一個零點，即至少有一點ξ(a<ξ<b)使f(ξ)=0。

證明:不妨設f(a)<0,f(b)>0.令

E={x|f(x)<0,x∈[a,b]}.

由f(a)<0知E≠Φ,且b為E的一個上界，於是根據確界存在原理，

存在ξ=supE∈[a,b].

下證f(ξ)=0(注意到f(a)≠0,f(b)≠0,故此時必有ξ∈(a,b).).事實上，

(i)若f(ξ)<0,則ξ∈[a,b).由函式連續的區域性保號性知

存在δ>0,對x1∈(ξ,ξ+δ):f(x)<0→存在x1∈E:x1>supE,

這與supE為E的上界矛盾;

(ii)若f(ξ)>0,則ξ∈(a,b].仍由函式連續的區域性保號性知

存在δ>0,對x1∈(ξ-δ,ξ):f(x)>0→存在x1為E的一個上界，且x1<ξ,

這又與supE為E的最小上界矛盾。

綜合(i)(ii)，即推得f(ξ)=0。