1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1）

(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1

n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1...

3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1

2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1

兩端相加得：

(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n

又：1+2+3+...+n=(n+1)n/2

代人上式：

n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(n+1)n/2+n

整理得：

1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

根據立方差公式(a+1)-a=3a+3a+1，則有：

a=1時：2-1=3×1+3×1+1

a=2時：3-2=3×2+3×2+1

a=3時：4-3=3×3+3×3+1

a=4時：5-4=3×4+3×4+1

a=n時：（n+1）-n=3×n+3×n+1

等式兩邊相加：

（n+1)-1=3（1+2+3+……+n）+3（1+2+3+……+n）+（1+1+1+……+1）

3（1+2+3+……+n）=（n+1）-1-3（1+2+3+.+n）-（1+1+1+.+1）

3（1+2+3+……+n）=（n+1）-1-3（1+n）×n÷2-n

6（1+2+3+……+n）=2（n+1)-3n（1+n)-2(n+1)=(n+1)[2(n+1)-3n-2]

=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]=n(n+1)(2n+1)

所以1+2+……+n=n（n+1)（2n+1）/6。

1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

推導過程：

1、N＝1時，1＝1（1＋1）（2×1＋1）/6＝1 。

2、N＝2時，1＋4＝2（2＋1）（2×2＋1）/6＝5。

3、設N＝x時，公式成立，即1＋4＋9＋…＋x2＝x(x+1)(2x+1)/6。

則當N＝x＋1時，

1＋4＋9＋…＋x2＋（x＋1）2＝x(x+1)(2x+1)/6＋（x＋1）2

＝（x＋1）[2（x2）＋x＋6（x＋1）]/6

＝（x＋1）[2（x2）＋7x＋6]/6

＝（x＋1）（2x＋3）（x＋2）/6

＝（x＋1）[（x＋1）＋1][2（x＋1）+1]/6

也滿足公式

4、綜上所述，平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立，得證。

擴充套件資料：

平方和公式作用

平方和公式用於求連續自然數的平方和（Sum of squares），可用來求很多關於平方數的數學題，其和又可稱之為四角錐數，或金字塔數（square pyramidal number）也就是正方形數的級數。此公式是馮哈伯公式(Faulhaber's formula)的一個特例。

數學歸納法解題過程

第一步：驗證n取第一個自然數時成立。

第二步：假設n=k時成立，然後以驗證的條件和假設的條件作為論證的依據進行推導，在接下來的推導過程中不能直接將n=k+1代入假設的原式中去。

第三步：總結表述。