利用泰勒公式求極限x-sinx/x^2

sinx泰勒展開為

sinx=x-x^3/3!+x^5/5!+o(x^5)

那麼

原極限

=lim(x趨於0) [x -x+x^3/3!-x^5/5!+o(x^5)] /x^2

=lim(x趨於0) [x^3/3!-x^5/5!+o(x^5)] /x^2

= lim(x趨於0) x/3!-x^3/5!+ ……

顯然極限值為0

lim(ⅹ→0)(x-sinx)

=lim(x→0)x- lim(x→0)sinx

=0-0=0

即x-sinx在ⅹ→0時，其極限為0.

lim(x→0)(x-sinx)/(1-cosx)=0,當x趨近0，x-sinx是比1-cosx高階的無窮小，不可能當x趨近0，x-sinx=1-cosx。要說當x趨近0，x-sinx≈1-cosx還可以。

x-sinx的等價無窮小。在經典的微積分或數學分析中，無窮小量通常以函式、序列等形式出現。

無窮小量即以數0為極限的變數，無限接近於0。確切地說，當自變數x無限接近x0（或x的絕對值無限增大）時，函式值f(x)與0無限接近，即f(x)→0(或f(x)=0)，則稱f(x)為當x→x0(或x→∞)時的無窮小量。

無限小量的概念是微積分學的基礎。雖然“無窮小”方法已經被古希臘和古代中國、印度和中世紀歐洲的科學家以各種不同方式順利地用來解決幾何學和自然科學中的問題，但是無窮小理論的基本概念的確切定義直到19世紀才被提出來。

“無窮小”的思想實際上最初是在哲學範圍內提出的，無論是在古希臘還是在中國都是如此。哲學家對“無窮小”進行了一定的論述，這正是“無窮小”方法得以在古希臘和古代中國的科學發展中應用的思想基礎。

在數學上無窮是一個經常出現的概念。簡單地說它是有限性概念的反義詞。人類對無窮的認識和刻畫經歷了漫長的時間。“在無窮小概念的現代處理方法出現以前的思想是這樣的，有限量是由無窮多個‘不可分量’組成的，這樣的不可分量不是作為變數而是作為比任何有限量都小的常量。

這種思想的例子之一是從有限到無限的非常規分解：唯一有意義的過程是把一個有限量劃分成個數無限增加而大小無限減小的組成部分”。這就是體現在古代的關於無窮的內涵。