sinx的平方的原函式是∫sinx^2dx=∫1-cos2x/2dx=x/2-sin2x/4+C。

1、cotx的原函式fx=㏑|sinx|+C、C是常數。求cotx的一個原函式，就是對cotx不定積分。∫cotx dx=∫cosx/sinxdx=∫1/sinxdsinx=ln|sinx|+C。原函式是指對於一個定義在某區間的已知函式fx，如果存在可導函式Fx，使得在該區間內的任一點都存在dFx=fxdx。



2、arctanx的原函式是x*arctanx-1/2ln1+x+C。原函式是指對於一個定義在某區間的已知函式fx，如果存在可導函式Fx，使得在該區間內的任一點都存在dFx=fxdx，則在該區間內就稱函式Fx為函式fx的原函式。



3、a的x次方的導數是指數函式的求導公式為a^x=lnaa^x，實質上，求導就是一個求極限的過程，導數的四則運演算法則也來源於極限的四則運演算法則。已知導函式也可以倒過來求原來的函式，即不定積分

解析：lim(x→0) [a^x－a^(sinx)]/(sinx)^3

＝lim(x→0) ｛a^(sinx)×[a^(x-sinx)－1]｝/(3x^2)

＝lim(x→0) [a^(x-sinx)－1]/x^3 使用洛必達法則

＝lim(x→0) [a^(x-sinx)×lna×(1-cosx)]/(3x^2)

＝lim(x→0) (lna×1/2×x^2)/(3x^2)

＝1/6×lna

原函式是指對於一個定義在某區間的已知函式f(x)，如果存在可導函式F(x)，使得在該區間內的任一點都存在dF(x)=f(x)dx，則在該區間內就稱函式F(x)為函式f(x)的原函式。