連續平方數求和公式是n(n+1)(2n+1)/6；即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (注：n^2=n的平方)。

證法（利用恆等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1）：

(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1，

n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1，

..............................

3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1，

2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1，

把這n個等式兩端分別相加，得：

(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n，

由於1+2+3+...+n=(n+1)n/2，

代人上式得：

n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n。

整理後得：

1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。

如果我們把[0，2]之間平均分成n段，每段是一個小長方形,面積為f(xi)△x，則當n趨近無窮大時，累加f(xi)△x所求的面積就是陰影面積。

因為：

所以：

上面用到了如下的連續自然數平方和的公式：

當n→∞時有：

下面給出連續自然數平方和的公式證明。