∫ (1 + lnx)/x dx

= ∫ (1 + lnx) d(lnx)

= ∫ (1 + lnx) d(1 + lnx)

= (1 + lnx)²/2 + C

= (1 + 2lnx + ln²x)/2 + C

= lnx + (1/2)ln²x + C''

或

= ∫ (1 + lnx) d(lnx)

= ∫ d(lnx) + ∫ lnx d(lnx)

= lnx + (1/2)ln²x + C

或

令u = lnx，du = (1/x) dx

∫ (1 + lnx)/x dx = ∫ (1 + u)/x * (x du)

= ∫ (1 + u) du

= ∫ du + ∫ u du

= u + u²/2 + C

= lnx + (1/2)ln²x + C

在微積分中，一個函式f 的不定積分，或原函式，或反導數，是一個導數等於f 的函式 F ，即F′ = f。

不定積分和定積分間的關係由微積分基本定理確定。其中F是f的不定積分。擴充套件資料：1、一個函式，可以存在不定積分，而不存在定積分，也可以存在定積分，而沒有不定積分。連續函式，一定存在定積分和不定積分。

2、若在有限區間[a，b]上只有有限個間斷點且函式有界，則定積分存在；若有跳躍、可去、無窮間斷點，則原函式一定不存在，即不定積分一定不存在。 3、當C為任意常數時，表示式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一個原函式。

也就是說f(x)的全體原函式所組成的集合就是函式族{F(x)+C|-∞4、由此可知，如果F(x)是f(x)在區間I上的一個原函式，那麼F(x)+C就是f(x)的不定積分，即∫f(x)dx=F(x)+C。

因而不定積分∫f(x) dx可以表示f(x)的任意一個原函式。