證明如下

首先由正弦定理可以知道a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,（R為外接圓的半徑）所以sinC=c/2R再由三角形的面積公式S=0.5absinC,將sinC=c/2R代入於是S=abc/4R

1.內切圓半徑為 r=(a+b-c)/2 2.外接圓半徑為 R=C/2ab分別為直角邊 c為斜邊首先提出一個公式：面積S=0.5*（a+b+c)*r,r為內切圓半徑證明只需連線各頂點與內切圓心即可得出。設c為斜邊∵S=0.5*（a+b+c)*r=0.5ab∴r=ab/（a+b+c)故只需證明ab/（a+b+c)=(a+b-c)/2即2ab=（a+b+c)*(a+b-c)即2ab=(a+b)^2-c^2即c^2=a^2+b^2因為C為斜邊，故上式成立所以r=(a+b-c)÷2 那個符號表示次數，即c^2=c*c2直角三角形的斜邊為直角三角形外接圓的直徑，因此外接圓的半徑就是斜邊的一半！

∵知道一個三角形的三邊,設三角形的分別是a,b,c,對應的三個角分別是A,B,C.

∴應用餘弦定理可求出這個三角形的三個角:

即a²=b²+c²-2bccosA,b²=a²+c²-2abcosB,c²=a²+b²-2abcosC

再應用正弦定理就可求出這個三角形的外接球半徑:

即這個三角形的外接球半徑=a/(2sinA)=b/(2sinB)=c/(2sinC).

三角形△ABC,三條邊分別為a,b,c,

外接圓半徑為R,則

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R