1/(1+x^2)的原函式是arctan(x) +C 。

解法如下：

三角變換

令x=tan t,t∈(-π/2,π/2),t= arctan x

dx=dt/cos^2 t

1/(x^2+1)=1/(tan^2 t+1)=cos^2 t

所以∫dx/(x^2+1)=∫(dt/cos^2 t )* cos^2t

=∫dt=t+C=arctan x +C

需知：

設f(x)在[a,b]上連續，則由 曲線y=f(x)，x軸及直線x=a，x=b圍成的曲邊梯形的面積函式(指代數和——x軸上方取正號，下方取負號)是f(x)的一個原函式.若x為時間變數，f(x)為直線運動的物體的速度函式，則f(x)的原函式就是路程函式。

已知作直線運動的物體在任一時刻t的速度為v=v(t),要求它的運動規律 ，就是求v=v(t)的原函式。原函式的存在問題是微積分學的基本理論問題，當f(x)為連續函式時，其原函式一定存在。

分部積分法：

原函式=∫ln(1+x^2)dx

=xln(1+x^2)-∫x/(1+x^2)*2xdx

=xln(1+x^2)-2∫x^2/(1+x^2)dx

=xln(1+x^2)-2∫[1-1/(1+x^2)]dx

=xln(1+x^2)-2(x-arctanx)+C

基本知識(上圖)

y=1+x²其實就是y=x²的影象想y軸正方向平移一個單位！(下圖)

函式y=1+x²是一個二次函式，它的自變數的取值範圍是全體實數，我們知道，它的圖象是一條拋物線，我們可以用五點法作圖畫出該拋物線，可以取(0，1)、(1，2)、(-1，2)、(2，5)、(-2，5)等五個點，之所以選這五個點，主要是(0，1)是頂點，其他四個點兩兩關於y軸對稱，爾後用平滑曲線把這五個點連線起來，即為該函式的圖象。