當一個行列式按照數乘、對換、倍加化成三角形行列式時，行列式的值是不會改變的。這時你使用行列式的定義計算行列式的值，很明顯就是對角線各元素的乘積。因為如果使用對角線之外的元素，所得項的值均為0。

線性代數（Linear Algebra）是數學的一個分支，它的研究物件是向量、向量空間（或稱線性空間），線性變換和有限維的線性方程組。線性代數的理論已被泛化為運算元理論。由於科學研究中的非線性模型通常可以被近似為線性模型，使得線性代數被廣泛地應用於自然科學和社會科學中。線性代數在數學、物理學和技術學科中有各種重要應用，因而它在各種代數分支中佔居首要地位。

線性代數所體現的幾何觀念與代數方法之間的聯絡，從具體概念抽象出來的公理化方法以及嚴謹的邏輯推證、巧妙的歸納綜合等，對於強化人們的數學訓練，增益科學智慧是非常有用的。

3×3三階矩陣求秩是1 2 3，0 -1 -5，0 -5 -7，此矩陣對應的行列式的值=7-25=-18≠0，它的秩=3。

1、矩陣的秩的性質是矩陣的行秩，列秩，秩都相等，初等變換不改變矩陣的秩，矩陣的乘積的秩Rab<=min{Ra,Rb}，PQ為可逆矩陣，則 r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)，當r(A)<=n-2時，最高階非零子式的階數<=n-2，任何n-1階子式均為零，而伴隨陣中的各元素就是n-1階子式再加上個正負號，所以伴隨陣為0矩陣。

2、兩者的關係是矩陣的秩等於矩陣列向量組的秩即列秩，而不是等於列數矩陣的秩也等於行向量組的秩即行秩，計算矩陣的秩用初等行變換化為梯矩陣, 非零行數即矩陣的秩，列變換也可用, 但行變換足夠，計算向量組的秩:將向量按列構成矩陣, 用初等行變換化梯矩陣, 非零行數即向量組的秩, 非零行的首非零元所在列對應的向量構成一個極大無關組。

3、顯然三階矩陣P和Q都是滿秩矩陣，所以與矩陣A進行左乘與右乘都相對於是在進行初等變換，都不會改變矩陣的秩，那麼B=QAP就可以得到r(B)=r(A)，而r(A)=2，所以解得r(B)=2，矩陣的秩是線性代數中的一個概念。線上性代數中，一個矩陣A的列秩是A的線性獨立的縱列的極大數。通常表示為r(A)，rk(A)或rankA，線上性代數中，一個矩陣A的列秩是A的線性獨立的縱列的極大數目。

對於這個矩陣而言，直接平方就很簡單的。對於一些複雜的矩陣可以化成對角形再平方，會簡單一些

大體有三種解法,法一：看它的秩是否為1,若為1的話一定可以寫成一行(a)乘一列(b),即A=ab.這樣的話,A^2=a(ba)b,注意這裡ba為一數,可以提出,即A^2=(ba)A；

法二：看他能否對角化,如果可以的話即存在可逆矩陣a,使a^(-1)Aa=∧,

這樣A=a∧a^(-1),A^2=a∧a^(-1)a∧a^(-1)=a∧^2a^(-1)；

最後,用最原始的方法乘,矩陣的乘法.

注意：次方法對n次方都適用,只不過對n次方,第三種方法,採用數學歸納法.