若函式f（x）在包含x0的某個開區間（a，b）上具有（n＋1）階的導數，那麼對於任一x∈（a，b），有f（x）＝f（x0）／0！＋f＇（x0）／1！＋f＇＇（x0）／2！＋．．．＋f（n）＇（x0）／n！＋Rn（x）。

其中，Rn（x）＝f（n＋1）δ（x－x0）＾（n＋1）／（n＋1）！，此處的δ為x0與x之間的某個值。f（x）稱為n階泰勒公式，其中，P（x）＝f（x0）＋f＇（x0）（x－x0）＋．．．＋f（n）（x0）（x－x0）＾n／n！稱為n次泰勒多項式。

擴充套件資料：

x0由導數的定義可知，當函式f（x）在點x0處可導時，在點x0的鄰域U（x0） 內恆有f（x）＝f（x0）＋f＇（x0）（x-x0）＋o（x－x0） 。因為o（x－x0）是一個無窮小量，故有f（x）≈f（x0）＋f＇（x0）（x-x0） 。

從幾何上看，它是用切線近似代替曲線。然而，這樣的近似是比較粗糙的，而且只在點的附近才有近似意義。為了改善上述不足，使得近似替代更加精密，數學家們在柯西中值定理的基礎上，推匯出了泰勒中值定理（泰勒公式）。

泰勒公式：將一個在x=x0處具有n階導數的函式f（x）利用關於（x-x0）的n次多項式來逼近函式的方法。若函式f（x）在包含x0的某個閉區間[a,b]上具有n階導數，且在開區間（a,b）上具有（n+1）階導數，則對閉區間[a,b]上任意一點x，成立下式：其中，表示f（x）的n階導數，等號後的多項式稱為函式f（x）在x0處的泰勒展開式，剩餘的Rn（x）是泰勒公式的餘項，是（x-x0）n的高階無窮小。擴充套件資料：常用函式的泰勒公式：泰勒展開式的應用：1、冪級數的求導和積分可以逐項進行，因此求和函式相對比較容易。2、一個解析函式可被延伸為一個定義在複平面上的一個開片上的解析函式，並使得複分析這種手法可行。3、泰勒級數可以用來近似計算函式的值，並估計誤差。4、證明不等式。5、求待定式的極限。