1. 除了拋物線這種特殊情況外，所有二次可導的曲線都行。像 這種曲線，你只要反向延長反射光線，也能得到。道理很簡單，下凸的曲線將光線匯聚到上方，而上凸的曲線將光線發散。2. 題主所給的例子，所得曲線方程是 。3. 對於一般的曲線 ，所的曲線的引數方程是 。4. 推導過程在曲線上取兩點 ，。記 為點 處切線的傾角。令光線照到這兩個點並反射。設兩光線經過長度 後相交。令 ，則曲線上取的兩點間的距離為 ，因此 ，即 。兩光線的交點座標可寫為 ，這個交點的軌跡就是所求曲線。計算出 及 ，代入，將 換成 ，最終得到 。======之前有多處公式打錯，已更正。

在平面直角座標系中，如果曲線上任意一點的座標x，y都是某個變數t的函式{x=f(t),y=g(t),並且對於t的每一個允許值，由該方程組所確定的點M(x,y)都在這條曲線上，那麼該方程就叫做這條曲線的引數方程，聯絡變數x，y的變數t叫做參變數，簡稱引數。相對於引數方程而言，直接給出點的座標間關係的方程叫做普通方程。

引數方程可以是曲線，也可以是曲面。曲線是基礎，比如圓，螺線，心形線，星形線，8字線等，曲面是一擴充套件，還有動態曲線曲面也是擴充套件。下面是我作的引數方程曲面。

曲率(k):描述曲線下降長度隨角度變化，k=limα→0∣∣ΔαΔs∣∣k=limα→0⁡|ΔαΔs|

R=1k=[1+(dydx)2]32d2ydx2=[1+(f′)2]32f′′R=1k=[1+(dydx)2]32d2ydx2=[1+(f′)2]32f″ （1）

曲率半徑計算公式

推導過程

曲線上某點的曲率半徑是該點的密切圓的半徑，在limΔs→0ΔαΔs=dαdslimΔs→0⁡ΔαΔs=dαds存在的條件下，k=∣∣dαds∣∣k=|dαds|。

設曲線的方程為y=f(x)，且f(x)具有二階導數。因為tanα = y’(設-ππ/2<α<ππ/2)，所以

a=arctany’

dαdx=(arctany′)′dαdx=(arctany′)′

dα=(arctany′)′dx=y′′1+y′2dxdα=(arctan⁡y′)′dx=y″1+y′2dx

或者

sec2αdα=y''dx，

dα=y′′sec2αdx=y′′1+tan2αdx=y′′1+y′2dxdα=y″sec2αdx=y″1+tan2αdx=y″1+y′2dx

3. 因為 ds=1+y′2−−−−−−√dxds=1+y′2dx(密切圓面積求導)，從而得到曲率公式k=f′′[1+(f′)2]32k=f″[1+(f′)2]32。