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二維形式(a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac+bd)^2,等號成立條件:ad=bc

2.

三角形式√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2],等號成立條件:ad=bc(注:“√”表示平方根)

3.

向量形式 |αβ|≥|α·β|,α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,…,bn)(n∈N,n≥2),等號成立條件:β為零向量,或α=λβ(λ∈R)。

4.

一般形式(∑ai^2)(∑bi^2)≥(∑ai·bi)^2,等號成立條件:a1:b1=a2:b2=…=an:bn,或ai、bi均為零

一般形式的柯西不等式是二維形式、三維形式、四維形式的柯西不等式的歸納與推廣，其特點可類比二維形式的柯西不等式來總結，左邊是平方和的積，右邊是積的和的平方。在使用時，關鍵是構造出符合柯西不等式的結構形式。

二維 (a²+b²)(x²+y²)≥(ax+by)² 恆成立(不需要條件) 等號當且僅當 a/x=b/y 時成立。

三維 (a²+b²+c²)(x²+y²+z²)≥(ax+by+cz)² 恆成立(不需要條件) 等號當且僅當 a/x=b/y=c/z 時成立。還有更高維的也是一樣的。