首先, 這些級數都是收斂的. 前3個都是通項絕對值單調遞減並趨於0的交錯級數, 適用Leibniz判別法. 第4個要用Dirichlet判別法: 1/n單調遞減趨於0, 而(-1)^n·sin(n)部分和有界. (積化和差證明: sin(m)+sin(m+2)+...+sin(m+2k) = (cos(m-1)-cos(m+2k+1))/(2sin(1))).要判別是否絕對收斂, 即考慮通項取絕對值後的級數斂散性. 1) 2n/(4n²+1)與1/n是同階無窮小(二者比值趨於1/2). 根據(正項級數)比較判別法, 由∑1/n發散知∑2n/(4n²+1)也發散. 故∑(-1)^n·2n/(4n²+1)為條件收斂. 2) sin(π/n)與1/n是同階無窮小(二者比值趨於π). 根據(正項級數)比較判別法, 由∑1/n發散知∑sin(π/n)也發散. 故∑(-1)^n·sin(π/n)為條件收斂. 3) 1/(4n²+1)與1/n²是同階無窮小(二者比值趨於1/4). 根據(正項級數)比較判別法, 由∑1/n²收斂知∑1/(4n²+1)也收斂. 故∑(-1)^(n+1)/(4n²+1)絕對收斂. 4) |sin(n)|/n ≥ sin²(n)/n = (1-cos(2n))/(2n).由Dirichlet判別法可證明∑cos(2n)/(2n)收斂 (cos(2n)部分和有界, 細節略). 而∑1/(2n)發散, 於是二者之差∑(1-cos(2n))/(2n)發散. 根據(正項級數)比較判別法, ∑|sin(n)|/n也發散. 故∑(-1)^n·sin(n)/n為條件收斂.

一個收斂的級數，如果在逐項取絕對值之後仍然收斂，就說它是絕對收斂的；否則就說它是條件收斂的。

簡單的比較級數就表明，只要∑|un|收斂就足以保證級數收斂;因而分解式(不僅表明∑|un|的收斂隱含著原級數∑un的收斂，而且把原級數表成了兩個收斂的正項級數之差。

由此易見，絕對收斂級數同正項級數一樣，很像有限和，可以任意改變項的順序以求和，可以無限分配地相乘。

擴充套件資料

正項級數收斂的充要條件是其部分和序列Sm 有上界，例如∑1/n！收斂，因為：Sm=1+1/2!+1/3!+···+1/m!<1+1+1/2+1/2²+···+1/2^(m-1)<3(2^3表示2的3次方)。

有無窮多項為正，無窮多項為負的級數稱為變號級數，其中最簡單的是形如∑[(-1)^(n-1)]*un(un>0)的級數，稱之為交錯級數。

判別這類級數收斂的基本方法是萊布尼茲判別法 ：

若un ≥un+1 ，對每一n∈N成立，並且當n→∞時lim un=0，則交錯級數收斂。例如∑[(-1)^(n-1)]*(1/n)收斂。

對於一般的變號級數如果有∑|un|收斂，則稱變號級數絕對收斂。如果只有 ∑un收斂，但是∑|un|發散，則稱變號級數條件收斂。

例如∑[(-1)^(n-1)]*(1/n^2)絕對收斂，而∑[(-1)^(n-1)]*(1/n)只是條件收斂。