用極座標、直角座標變換公式+拉普拉斯方程得來。

推倒過程如下：

u''xx+u''yy=0

x=ρcosα，y=ρsinα

∂u/∂ρ=∂u/∂x.∂x/∂ρ+∂u/∂y.∂y/∂ρ=u'x.cosα+u'y.sinα

∂²u/∂ρ²=cosα(u''xx.x'ρ+u''xy.y'ρ)+sinα(u''yy.y'ρ+u''yx.x'ρ)

=cosα(u''xx.cosα+u''xy.sinα)+sinα(u''yy.sinα+u''yx.cosα)

=u''xx.cos²α+2u''xy.sinαcosα+u''yy.sin²α

ρ²∂²u/∂ρ²=ρ²u''xx.cos²α+2ρ²u''xy.sinαcosα+ρ²u''yy.sin²α.....（1）

∂u/∂α=∂u/∂x.∂x/∂α+∂u/∂y.∂y/∂α=u'x.（-ρsinα）+u'y.ρcosα

∂²u/∂α²=（-ρsinα）（u''xx.x'α+u''xy.y'α）+ρcosα(u''yx.x'α+u''yy.y'α)-u'x.（ρcosα）-u'y.ρsinα

=（-ρsinα）（u''xx.（-ρsinα）+u''xy.ρcosα）+ρcosα(u''yx.（-ρsinα）+u''yy.ρcosα)
-ρ[u'x.cosα+u'y.sinα]

=（-ρsinα）（u''xx.（-ρsinα）+u''xy.ρcosα）+ρcosα(u''yx.（-ρsinα）+u''yy.ρcosα)
-ρ∂u/∂ρ

=ρ²sin²αu''xx-2ρ²u''xysinαcosα+ρ²u''yy.cos²α-ρ∂u/∂ρ.........（2）
（1）+（2）

ρ²∂²u/∂ρ²+∂²u/∂α²=ρ²u''xx（cos²α+sin²α）+ρ²u''yy.（cos²α+sin²α）+2ρ²u''xy.sinαcosα-2ρ²u''xysinαcosα-ρ∂u/∂ρ

=ρ²u''xx+ρ²u''yy-ρ∂u/∂ρ

=ρ²（u''xx+u''yy）-ρ∂u/∂ρ

=-ρ∂u/∂ρ

ρ²∂²u/∂ρ²+∂²u/∂α²+ρ∂u/∂ρ=0

∂²u/∂ρ²+(1/ρ²)∂²u/∂α²+(1/ρ)∂u/∂ρ=0

基本概述

一個彎曲的表面稱為曲面，通常用相應的兩個曲率半徑來描述曲面，即在曲面上某點作垂直於表面的直線，再透過此線作一平面，此平面與曲面的截線為曲線，在該點與曲線相切的圓半徑稱為該曲線的曲率半徑R1。

透過表面垂線並垂直於第一個平面再作第二個平面並與曲面相交，可得到第二條截線和它的曲率半徑R2，用 R1與R2可表示出液體表面的彎曲情況。

若液麵是彎曲的，液體內部的壓強p1與液體外的壓強p2就會不同，在液麵兩邊就會產生壓強差△P= P1- P2，稱附加壓強，其數值與液麵曲率大小有關，可表示為：

，式中γ是液體表面張力系數，該公式稱為拉普拉斯方程。

在數理方程中

拉普拉斯方程為：

，其中∇²為拉普拉斯運算元，此處的拉普拉斯方程為二階偏微分方程。三維情況下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，問題歸結為求解對實自變數x、y、z二階可微的實函式φ ：

其中∇²稱為拉普拉斯運算元。

拉普拉斯方程的解稱為調和函式。

如果等號右邊是一個給定的函式f（x，y，z），即：

則該方程稱為泊松方程。 拉普拉斯方程和泊松方程是最簡單的橢圓型偏微分方程。偏微分運算元

（可以在任意維空間中定義這樣的運算元）稱為拉普拉斯運算元，英文是Laplace operator或簡稱作Laplacian

直角座標下的拉普拉斯方程為：(ə²/əx²)+(ə²/əy²)f=0

極座標下的拉普拉斯方程：(ə²/ər²)+(1/r)(ə/ər)+(1/r²)(ə²/ə²θ)f=0

下面的極座標下的拉普拉斯方程是怎麼推匯出的呢？

f是函式，ə是求偏導符號

直角座標下的拉普拉斯方程為：(ə²/əx²)+(ə²/əy²)f=0

極座標下的拉普拉斯方程：(ə²/ər²)+(1/r)(ə/ər)+(1/r²)(ə²/ə²θ)f=0