矩陣的合同標準形意思是指矩陣標準型的理論來自於矩陣的相似性，矩陣在初等變化下有很多數值不一樣的表象，但其本質特徵，如秩，特徵值，特徵多項式等都是相同的，這些相似不變數就是這個矩陣的本質特徵，而如何用最簡單的形式表徵這些矩陣就是標準型的由來了矩陣的標準形一般有3種:1.梯矩陣2.行簡化梯矩陣(或稱為行最簡形)3.等價標準形

當且僅當存在一個可逆矩陣C

使得C^TAC=B

則稱方陣A合同於矩陣B

任何二次型都可以化成規範型

只需要在標準型的基礎上，將平方項的係數變為1或-1

合同就是規範型中的1，-1以及0的個數都是一樣的

那麼當然矩陣A合同於其規範型在實數域中，

根據慣性定理，

每個對稱矩陣都合同於一個對角線上元素只由0和±1構成的對角矩陣。

如果設1的個數是p，

-1的個數是q，

那麼給定(p，q)後，

就確定了一個關於合同關係的等價類。

數對(p，q)稱為一個對稱矩陣（或相應二次型）的慣性指數。

其中1的個數p稱為正慣性指數，

-1的個數q稱為負慣性指數。

根據正慣性指數的定義，

如果a的正慣性指數為n，

則a合同於e

矩陣合同其實就是合同矩陣。

合同矩陣，線上性代數，特別是二次型理論中，常常用到矩陣間的合同關係。兩個矩陣A和B是合同的，當且僅當存在一個可逆矩陣 C，使得CTAC=B，則稱方陣A合同於矩陣B。

合同關係是一個等價關係，也就是說滿足：

1、反身性：任意矩陣都與其自身合同；

2、對稱性：A合同於B，則可以推出B合同於A；

3、傳遞性：A合同於B，B合同於C，則可以推出A合同於C；

4、合同矩陣的秩相同。

矩陣合同的主要判別法：

設A,B均為複數域上的n階對稱矩陣,則A與B在複數域上合同等價於A與B的秩相同.

設A,B均為實數域上的n階對稱矩陣,則A與B在實數域上合同等價於A與B有相同的正、負慣性指數（即正、負特徵值的個數相等）。