點關於點的對稱問題,是對稱問題中最基礎最重要的一類,其餘幾類對稱問題均可以化歸為點關於點的對稱進行求解.熟練掌握和靈活運用中點座標公式是處理這類問題的關鍵.
點關於直線的對稱問題是點關於點的對稱問題的延伸,處理這類問題主要抓住兩個方面：①兩點連線與已知直線斜率乘積等於-1,②兩點的中點在已知直線上.
直線關於點的對稱問題,可轉化為直線上的點關於某點對稱的問題,這裡需要注意到的是兩對稱直線是平行的.我們往往利用平行直線系去求解.
例 求直線2x+11y+16=0關於點P（0,1）對稱的直線方程.
分析 本題可以利用兩直線平行,以及點P到兩直線的距離相等求解,也可以先在已知直線上取一點,再求該點關於點P的對稱點,代入對稱直線方程待定相關常數.
解法一 由中心對稱性質知,所求對稱直線與已知直線平行,故可設對稱直線方程為2x+11y+c=0.由點到直線距離公式,得 ,
即|11+c|=27,得c=16（即為已知直線,捨去）或c= -38.故所求對稱直線方程為2x+11y-38=0.
解法二 在直線2x+11y+16=0上取兩點A（-8,0）,則點A（-8,0）關於P（0,1）的對稱點的B（8,2）.由中心對稱性質知,所求對稱直線與已知直線平行,故可設對稱直線方程為2x+11y+c=0.
將B（8,2）代入,解得c=-38.
故所求對稱直線方程為2x+11y-38=0.
點評 解法一利用所求的對稱直線肯定與已知直線平行,再由點（對稱中心）到此兩直線距離相等,而求出c,使問題解決,而解法二是轉化為點關於點對稱問題,利用中點座標公式,求出對稱點座標,再利用直線系方程,寫出直線方程.本題兩種解法都體現了直線系方程的優越性.
直線關於直線對稱問題,包含有兩種情形：①兩直線平行,②兩直線相交.對於①,我們可轉化為點關於直線的對稱問題去求解；對於②,其一般解法為先求交點,再用“到角”,或是轉化為點關於直線對稱問題.
例 求直線l1：x-y-1=0關於直線l2：x-y+1=0對稱的直線l的方程.
分析 由題意,所給的兩直線l1,l2為平行直線,求解這類對稱總是,我們可以轉化為點關於直線的對稱問題,再利用平行直線系去求解,或者利用距離相等尋求解答.
解 根據分析,可設直線l的方程為x-y+c=0,在直線l1：x-y-1=0上取點M（1,0）,則易求得M關於直線l2：x-y+1=0的對稱點N（-1,2）,
將N的座標代入方程x-y+c=0,解得c=3,
故所求直線l的方程為x-y+3=0.
點評 將對稱問題進行轉化,是我們求解這類問題的一種必不可少的思路.另外此題也可以先利用平行直線系方程寫出直線l的形式,然後再在直線l2上的任取一點,在根據該點到互相對稱的兩直線的距離相等去待定相關常數.
點關於直線對稱點
點關於直線的對稱點座標?
有公式但很麻煩,不值得記憶,因為公式一麻煩,就容易記錯誤,如兩點式就很令人討厭,於是,我往往不用兩點式
A（x0,y0）直線Ax+By+C=0
令B(x1,y1)為點關於直線的對稱點
則A(x0+x1)/2+B(y0+y1)/2+C=0
A(y1-y0)=B(x1-x0) 解方程即可
值得注意的是如果是關於y=x+c 或y=-x+c對稱
則可以直接代方程,如A（x0,y0）令B(x1,y1)為點關於直線y=x+c的對稱點y=x+c=x0+c x=y-c=y0-c B(x0+c,y0-c)
1年前
點關於點的對稱問題,是對稱問題中最基礎最重要的一類,其餘幾類對稱問題均可以化歸為點關於點的對稱進行求解.熟練掌握和靈活運用中點座標公式是處理這類問題的關鍵.
點關於直線的對稱問題是點關於點的對稱問題的延伸,處理這類問題主要抓住兩個方面：①兩點連線與已知直線斜率乘積等於-1,②兩點的中點在已知直線上.
直線關於點的對稱問題,可轉化為直線上的點關於某點對稱的問題,這裡需要注意到的是兩對稱直線是平行的.我們往往利用平行直線系去求解.
例 求直線2x+11y+16=0關於點P（0,1）對稱的直線方程.
分析 本題可以利用兩直線平行,以及點P到兩直線的距離相等求解,也可以先在已知直線上取一點,再求該點關於點P的對稱點,代入對稱直線方程待定相關常數.
解法一 由中心對稱性質知,所求對稱直線與已知直線平行,故可設對稱直線方程為2x+11y+c=0.由點到直線距離公式,得 ,
即|11+c|=27,得c=16（即為已知直線,捨去）或c= -38.故所求對稱直線方程為2x+11y-38=0.
解法二 在直線2x+11y+16=0上取兩點A（-8,0）,則點A（-8,0）關於P（0,1）的對稱點的B（8,2）.由中心對稱性質知,所求對稱直線與已知直線平行,故可設對稱直線方程為2x+11y+c=0.
將B（8,2）代入,解得c=-38.
故所求對稱直線方程為2x+11y-38=0.
點評 解法一利用所求的對稱直線肯定與已知直線平行,再由點（對稱中心）到此兩直線距離相等,而求出c,使問題解決,而解法二是轉化為點關於點對稱問題,利用中點座標公式,求出對稱點座標,再利用直線系方程,寫出直線方程.本題兩種解法都體現了直線系方程的優越性.
直線關於直線對稱問題,包含有兩種情形：①兩直線平行,②兩直線相交.對於①,我們可轉化為點關於直線的對稱問題去求解；對於②,其一般解法為先求交點,再用“到角”,或是轉化為點關於直線對稱問題.
例 求直線l1：x-y-1=0關於直線l2：x-y+1=0對稱的直線l的方程.
分析 由題意,所給的兩直線l1,l2為平行直線,求解這類對稱總是,我們可以轉化為點關於直線的對稱問題,再利用平行直線系去求解,或者利用距離相等尋求解答.
解 根據分析,可設直線l的方程為x-y+c=0,在直線l1：x-y-1=0上取點M（1,0）,則易求得M關於直線l2：x-y+1=0的對稱點N（-1,2）,
將N的座標代入方程x-y+c=0,解得c=3,
故所求直線l的方程為x-y+3=0.
點評 將對稱問題進行轉化,是我們求解這類問題的一種必不可少的思路.另外此題也可以先利用平行直線系方程寫出直線l的形式,然後再在直線l2上的任取一點,在根據該點到互相對稱的兩直線的距離相等去待定相關常數.
點關於直線對稱點
點關於直線的對稱點座標?
有公式但很麻煩,不值得記憶,因為公式一麻煩,就容易記錯誤,如兩點式就很令人討厭,於是,我往往不用兩點式
A（x0,y0）直線Ax+By+C=0
令B(x1,y1)為點關於直線的對稱點
則A(x0+x1)/2+B(y0+y1)/2+C=0
A(y1-y0)=B(x1-x0) 解方程即可
值得注意的是如果是關於y=x+c 或y=-x+c對稱
則可以直接代方程,如A（x0,y0）令B(x1,y1)為點關於直線y=x+c的對稱點y=x+c=x0+c x=y-c=y0-c B(x0+c,y0-c)
1年前