黎曼函式

黎曼函式定義在[0,1]上，其基本定義是：R(x)=1/q，當x=p/q(p,q都屬於正整數，p/q為既約真分數)；R(x)=0，當x=0，1和(0,1)內的無理數

黎曼函式（Riemann function）是一個特殊函式，由德國數學家黎曼發現提出，黎曼函式定義在[0,1]上，其基本定義是：R(x)=1/q，當x=p/q(p,q都屬於正整數，p/q為既約真分數)；R(x)=0，當x=0，1和(0,1)內的無理數。

黎曼函式在高等數學中被廣泛應用，在很多情況下可以作為反例來驗證某些函式方面的待證命題。

函式可積性的勒貝格判據指出，一個有界函式是黎曼可積的，當且僅當它的所有不連續點組成的集合測度為0。黎曼函式的不連續點集合即為有理數集，是可數的，故其測度為0，所以由勒貝格判據，它是黎曼可積的

黎曼函式的應用:

所謂黎曼函式R(x)，是定義在區間0~1上的一個建構函式:當x是有理數p/q(p、q為互質整數)時,R(x)=1/q;當x是無理數時，R(x)=0.

黎曼函式是由黎曼進行定義，用來作為數學分析中反例說明函式方面的待證性質的。

如:黎曼函式在(0，1)內所有無理數點處連續，在所有有理數點處間斷。每一點處都存在著極限，且極限都是0(可見間斷點都屬第一類中的可去間斷點)。