零是有界函式，因為存在一個數K大於0。

有界函式是設f(x)是區間E上的函式，若對於任意的x屬於E，存在常數m、M，使得m≤f(x)≤M，則稱f(x)是區間E上的有界函式。其中m稱為f(x)在區間E上的下界，M稱為f(x)在區間E上的上界。

有界函式並不一定是連續的。根據定義，ƒ在D上有上（下）界，則意味著值域ƒ(D)是一個有上（下）界的數集。根據確界原理，ƒ在定義域上有上（下）確界。一個特例是有界數列，其中X是所有自然數所組成的集合N。由ƒ (x)=sinx所定義的函式f:R→R是有界的。當x越來越接近-1或1時，函式的值就變得越來越大。



有界函式的性質：

（1）單調性：

閉區間上的單調函式必有界。其逆命題不成立。

（2）連續性：

閉區間上的連續函式必有界。其逆命題不成立。

（3）可積性：

閉區間上的可積函式必有界。其逆命題不成立。

不一定的。函式可導只說明導函式有原函式。注意，在本科高數的語境下，可積是指黎曼可積，也就是黎曼和有極限，這和被積函式有原函式是兩碼事。

一個本科階段常用的反例是

補充定義 .這個函式在 上可導，導數是

在 處根據定義，函式也可導，導數是0.但是當n>m的時候，在x=0附近導函式是無界的。因為黎曼可積函式在閉區間上是有界的，從而這個導函式在一個包含x=0的閉區間上不是黎曼可積的。