分別為：微積分中的拉格朗日中值定理；數論中的四平方和定理；群論中的拉格朗日定理 (群論)。

拉格朗日中值定理又稱拉氏定理，是微分學中的基本定理之一，它反映了可導函式在閉區間上的整體的平均變化率與區間內某點的區域性變化率的關係。拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣，同時也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一階展開）。

發展簡史

人們對拉格朗日中值定理的認識可以上溯到公元前古希臘時代。古希臘數學家在幾何研究中得到如下結論：“過拋物線弓形的頂點的切線必平行於拋物線弓形的底”。這正是拉格朗日定理的特殊情況，古希臘數學家阿基米德正是巧妙地利用這一結論，求出拋物弓形的面積.。

義大利卡瓦列裡在《不可分量幾何學》(1635年)的卷一中給出處理平面和立體圖形切線的有趣引理，其中引理3基於幾何的觀點也敘述了同樣一個事實：曲線段上必有一點的切線平行於曲線的弦。這是幾何形式的微分中值定理，被人們稱為卡瓦列裡定理。該定理是拉格朗日中值定理在幾何學中的表達形式。

由開爾文定理可直接推論得到拉格朗日定理（Lagrange theorem），即漩渦不生不滅定理:

正壓理想流體在質量力有勢的情況下，如果初始時刻某部分流體內無渦，則在此之前或以後的任何時刻中這部分流體皆為無渦。反之，若初始時刻該部分流體有渦，則在此之前或以後的任何時刻中這部分流體皆為有渦。

拉格朗日中值定理又稱拉氏定理，是微分學中的基本定理之一，它反映了可導函式在閉區間上的整體的平均變化率與區間內某點的區域性變化率的關係。拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣，同時也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一階展開）。

在經典的牛頓物理學中，系統的拉格朗日是總動能減去總勢能，但在量子場論中，這種簡單的關係不再真實，並且每個時間點的拉格朗日方程是所有空間中所有領域的功能。我們可以處理愛因斯坦的相對論，或者使用量子場論，或者採用牛頓運動定律，當物理學家提出新的物理基本定律時，它們經常透過提出拉格朗日的新方程來做到這一點。

因此我們要關注的不是任何一個特定理論中的拉格朗日方程，但拉格朗日如何用於預測系統的行為，這具有普遍的實踐和哲學意義。