所有的分式線性對映都可以看作是三種映射覆合而成，這三種對映是：w=az,w=z+b,w=1/z，它們分別代表了：旋轉伸縮變換，平移變換和關於單位圓的對映變換。

知道這個關係後，就可以證明如下的結論：把z平面上的z1，z2，z3三個點對映到w平面上w1，w2，w3三個點的共形對映由下式給出：(w-w1)/(w-w2):(w3-w1)/(w3-w2)=(z-z1)/(z-z2):(z3-z1)/(z3-z2)。（參見王綿森《複變函式》）上半平面可以看做是半徑無窮大的圓周內部，其圓心在任意一處。

所以上面的式子實際意義是把i對映到圓心，把-i對映到無窮遠點。

類似的，第二個也可以這樣分析。之後，確定分式線性對映只需明確三個點分別對映到哪三個點就可以了。關於共形對映的詳細討論，可以參考史濟懷《複變函式》或者王綿森《複變函式

w=e^(ib)(z-a)/(a'-z)其中b是任意實數，a'是a的共軛顯然z=a時，w=0若z是實數，z=z',則|w|=|z-a|/|a'-z'|=1，即對映將實軸映到單位圓，而a在上半平面，a映到0，所以上半平面映到單位圓內。