公元前500年，古希臘畢達哥拉斯（Pythagoras）學派的弟子希伯修斯（Hippausus）發現了一個驚人的事實，一個正方形的對角線與其一邊的長度是不可公度的（若正方形邊長是1。則對角線的長不是一個有理數），這一不可公度性與畢氏學派“萬物皆為數”（只有理數）的哲理大相徑庭。這一發現使該學派領導人惶恐、惱怒，認為這將動搖他們在學術界的統治地位。希伯修斯因此被囚禁，受到百般折磨，最後竟遭到沉舟身亡的懲處。

畢氏弟子的發現，第一次向人們揭示了有理數的缺陷，證明它不能同連續的無限直線同等看待，有理數沒有佈滿數軸上的點，在數軸上存在著不能用有理數表示的“空隙”。而這種“空隙”經後人證明簡直多得“不可勝數”。於是，古希臘人把有理數視為連續銜接的那種“算術連續統”的設想徹底的破滅了。不可公度的發現連同著名的芝諾悖論一同被稱為數學史上的第一次危機對以後兩千多年數學的發展產生了深遠的影響，促使人們從依靠直覺、經驗而轉向依靠證明，推動了公理幾何學與邏輯學的發展，並且孕育了微積分的思想萌芽。

不可通約的本質是什麼？長期以來眾說紛紜，得不到正確的解釋，兩個不可通約的比值也一直被認為是不可理喻的數。15世紀義大利著名畫家達·芬奇稱之為“無理的數”，17世紀德國天文學家開普勒稱之為“不可名狀”的數。

然而，真理畢竟是淹沒不了的。畢氏學派抹殺真理才是“無理”。人們為了紀念希伯修斯這位為真理而獻身的可敬的學者，就把不可通約的量取名為“無理數”——這便是無理數的由來。

無理數，也稱為無限不迴圈小數，不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式，小數點之後的數字有無限多個，並且不會迴圈。常見的無理數有非完全平方數的平方根、π和e（其中後兩者均為超越數）等。無理數的另一特徵是無限的連分數表示式。無理數最早由畢達哥拉斯學派弟子希伯索斯發現。